SIGILOSO
DATA: 15 DE MARÇO DE 1965
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE CONTROLE [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-Σ

Após o êxito do Programa Gemini, tornou‑se imperativo consolidar nossa compreensão sobre trajetórias de rendez‑vous. Os documentos a seguir detalham princípios matemáticos cruciais à independência do caminho em integrais de linha, permitindo cálculo rápido de energia de manobra com base apenas em pontos de origem e destino.

Esses exercícios foram compilados do caderno pessoal do Dr. ████████, cujo trabalho sobre funções potenciais oferece grande vantagem estratégica.
Este documento contém fórmulas consideradas vitais. Divulgação não autorizada acarretará sanções severas.
REF: Σ‑1965-A NÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑3 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: Independência do Caminho e Função Potencial

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0\quad \Longleftrightarrow \quad \vec{F} = \nabla \Phi\]

Um campo vetorial conservativo \(\vec{F}\) é aquele cujo integral de linha independe do caminho, bastando conhecer os pontos inicial e final. Equivalente a isso, existe uma função potencial \(\Phi\) tal que \(\vec{F} = \nabla \Phi\).

Durante acoplamentos orbitais, a economia de propelente depende de somar variações de energia ao longo de rotas complexas. Com campos conservativos (gravidade ideal), podemos prever o gasto conhecendo apenas alturas inicial e final, acelerando decisões em tempo real.
NOTA HISTÓRICA: Em 23/03/1965, a missão Gemini 3 testou mudanças de órbita programadas via métodos de integração conservativa aqui descritos.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Simulação de Trajetória – Laboratório Mercury, 1962

    Considere o campo constante \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Calcule \[\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\] para (i) o caminho retilíneo de (0,0) para (4,1) e (ii) a curva poligonal (0,0)→(0,1)→(4,1). Verifique a independência do caminho.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Relacione produto escalar com deslocamento total.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Para campo constante, \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\vec{F}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A)=2(4)+3(1)=11\).

    Ambos os caminhos resultam em 11. Independência confirmada.

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Ajuste de Ângulo de Reentrada – Dados Vostok, 1963

    Dado o campo \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\), encontre a função potencial \(\Phi(x,y)\) tal que \(\vec{F}=\nabla\Phi\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Integre componente a componente.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Integre: \(\frac{\partial\Phi}{\partial x}=y \Rightarrow \Phi=xy+g(y)\).
    Derive: \(\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x+g'(y)=x \Rightarrow g'(y)=0\). Assim \(g(y)=C\).
    Potencial: \[\Phi(x,y)=xy+C.\]

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Sensor de Campo Magnético – Relatório Interno, 1964

    Mostre que \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix} 3x^2+2y \\ 2x+2y \end{pmatrix}\) é conservativo e calcule \(\Phi\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Use condição \(\partial F_1/\partial y = \partial F_2/\partial x\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    \(\partial F_1/\partial y = 2\) e \(\partial F_2/\partial x = 2\) ⇒ campo conservativo.
    Integre: \(\Phi=\int F_1\,dx = \int (3x^2+2y)dx = x^3+2xy + h(y)\).
    Derive: \(\partial\Phi/\partial y = 2x+h'(y)=2x+2y\) ⇒ \(h'(y)=2y\) ⇒ \(h=y^2\).
    Potencial: \[\Phi(x,y)=x^3+2xy+y^2.\]

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Plataforma Gemini – Teste de Queima, 1965

    Verifique se o campo 3D \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2xz \\ 2yz \\ x^2 + y^2 \end{pmatrix}\) é conservativo. Se for, determine \(\Phi\) e calcule o trabalho para mover a cápsula de (1,0,0) até (0,1,1).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de curl podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) ⇒ conservativo.
    Integre \(F_1\): \(\Phi=\int 2xz\,dx = x^2z + g(y,z)\). Derivando em y e igualando a \(F_2=2yz\) resulta \(\partial g/\partial y = 2yz\) ⇒ \(g=y^2 z + h(z)\). Derivando em z e igualando a \(x^2+y^2\) fornece \(x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + h'(z)\) ⇒ \(h'(z)=0\).
    Potencial: \[\Phi(x,y,z)=x^2 z + y^2 z.\]
    Trabalho = \(\Phi(0,1,1)-\Phi(1,0,0)= (0+1^2\cdot1)-(0)=1.\)

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Ajuste Fino de Órbita – Documento ███‑Δ, 1965

    Mostre que o trabalho ao longo de qualquer curva no campo \(\vec{F}(x,y)=\nabla(x^2y+3y)\) depende apenas dos pontos extremos. Calcule o valor para deslocamento de A(1,1) para B(2,3).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Conservação de energia potencial.
    RELATÓRIO DE CÁLCAL**O [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Por definição, \(\vec{F}=\nabla\Phi\) com \(\Phi=x^2y+3y\). Trabalho = \(\Phi(B)-\Phi(A)= (4\cdot3+9)-(1\cdot1+3)=12+9-1-3=17.\)

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Análise de Combustível – Centro ████, 1965

    Demonstre que se \(\vec{F}\) é conservativo em uma região aberta e simples, então \(\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=0\) para qualquer curva fechada C contida nessa região.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Potencial constante em percurso fechado.
    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Como \(\vec{F}=\nabla\Phi\), temos \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_C d\Phi = \Phi(\text{início})-\Phi(\text{fim})=0\) pois início=fim. QED.

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Missão Gemini 5 – Telemetria de Campo Gravitacional, AGO/1965

    Considere \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} yz \\ xz \\ xy \end{pmatrix}\). (a) Verifique se o campo é conservativo. (b) Encontre \(\Phi\). (c) Calcule o trabalho ao mover‑se de (1,0,0) até (1,1,1).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias não aparentes no sistema.
    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) ⇒ conservativo.
    Potencial: \(\Phi=xyz\).
    Trabalho = \(\Phi(1,1,1)-\Phi(1,0,0)=1-0=1.\)

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Correção de Inclinação – Documento Ψ‑47, 1966

    O campo \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x \ln z \\ 2y \ln z \\ \frac{x^2+y^2}{z} \end{pmatrix}\) é definido para \(z>0\). Prove que é conservativo e determine \(\Phi\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique condições de simetria envolvendo \(\ln z\).
    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Curl nulo para \(z>0\) ⇒ conservativo.
    Integre primeira componente: \(\Phi=\int 2x \ln z\,dx = x^2 \ln z + g(y,z)\).
    Derivando em y → \(2y\ln z + g_y = 2y\ln z\) ⇒ \(g_y=0\).
    Derivando em z e igualando → obtém‑se \(g(z) = C\).
    Potencial: \[\Phi(x,y,z)= (x^2 + y^2) \ln z.\]

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Ensaio de Simples Conexão – Seção Matemática, 1966

    Discuta por que a independência do caminho pode falhar em regiões com buracos (ex.: \(\mathbb{R}^2\) sem o eixo y). Ilustre com o campo \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix} -y/(x^2+y^2) \\ x/(x^2+y^2) \end{pmatrix}\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe rotações em torno da origem.
    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Embora curl seja zero em \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\), a região não é simplesmente conexa; integral em curva unitária é \(2\pi\), logo sem potencial global.

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Skylab – Avaliação de Energia Potencial, 1973

    Sea field \(\vec{F}(\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \rho \cos \theta \\ \rho \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}\) em coordenadas cilíndricas (\(\rho>0\)). Determine se existe \(\Phi\) tal que \(\vec{F}=\nabla\Phi\). Justifique.

    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Convertendo a cartesianas resulta \(\vec{F}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}\). Curl é \(\vec{0}\), região é \(\mathbb{R}^3\setminus\{z\text{-eixo}\}\) = simplesmente conexa? Sim → existe potencial: \(\Phi=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2)\).

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Skylab – Diagnóstico de Falha, 1974

    Considere domínio \(D=\mathbb{R}^3\setminus\{z\text{-eixo}\}\). Mostre que o campo \(\vec{G}(x,y,z)=\begin{pmatrix} -y/r^2 \\ x/r^2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (com \(r^2=x^2+y^2\)) não admite potencial em D embora \(\nabla\times\vec{G}=\vec{0}\).

    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Curva circular em torno do eixo z dá integral \(2\pi\). Falha decorre de topologia do domínio: D não é simplesmente conexa.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Skylab – Sala de Controle, ██/██/1975

    Projete uma função potencial \(\Phi(x,y,z)\) para um campo desejado de frenagem \(\vec{F}=\nabla\Phi\) que satisfaça \(\Phi(x,y,0)=x^2-y^2\) no plano orbital e se anule no infinito. Apresente uma possível solução.

    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Uma extensão harmônica é \(\Phi(x,y,z)=\frac{x^2-y^2}{1+z^2}\), decai a 0 quando \(|(x,y,z)|\to\infty\) e reduz‑se a condição exigida em z=0.

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