Documento Sigiloso - Cálculo Vetorial
SIGILOSO
DATA: 07 DE MARÇO DE 1966
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE PESQUISA [███]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-X

Em resposta à corrida tecnológica desencadeada pelo lançamento do Sputnik, este dossiê consolida investigações sobre geometria de regiões de voo\, essenciais para assegurar rotas seguras de reentrada. 

Os exercícios anexos foram transcritos dos cadernos do Dr. ██████████\, cuja pesquisa em topologia aplicada sustenta a navegação de cápsulas Gemini. 
Este documento contém informações consideradas vitais para a segurança nacional. A divulgação não autorizada poderá resultar em sanções severas.
REF: VX-0042-C NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-2 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 4
```
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: CONJUNTO SIMPLESMENTE CONEXO

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\pi_1(\Omega)=\{e\}\]

Um subconjunto \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) é simplesmente conexo se é caminho‑conexo e todo caminho fechado em \(\Omega\) pode ser continuamente deformado, dentro de \(\Omega\), até um ponto.
Intuitivamente, regiões sem "furos".

No planejamento de reentrada das cápsulas Gemini, a região de tolerância térmica no espaço de estados precisava ser simplesmente conexa, garantindo que manobras corretivas fossem possíveis sem saltar fronteiras críticas.
NOTA HISTÓRICA: Durante o Programa Gemini (1965‑1966) engenheiros dependiam da identificação de domínios simplesmente conexos no plano de inclinação versus perigeu para projetar janelas seguras de retorno.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Briefing Gemini IV — Maio/1965

    Considere o disco aberto \(D = \{(x,y) \mid x^2+y^2 < 1\}\). Determine se \(D\) é simplesmente conexo justificando de forma intuitiva.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Imagine encolher qualquer laço até o centro.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    O disco é caminho‑conexo e não possui furos. Qualquer curva fechada pode ser retraída radialmente até um ponto, logo \(\pi_1(D)=\{e\}\). Portanto, simplesmente conexo.

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Laboratório de Trajetórias — Junho/1965

    Seja \(A = \{(x,y) \mid 1 < x^2 + y^2 < 4\}\) (anel entre dois círculos). Julgue a simples conexidade e explique.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe a presença de uma região removida no centro.
    RELATÓRIO DE CÁLCALCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    O anel contém um "furo" central. Existe curva que circunda o furo e não pode ser contraída dentro de \(A\). Assim \(A\) não é simplesmente conexo.

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Documento de Teste ─ Julho/1965

    A região \(R = \{(x,y) \mid y > 0\}\) (semiplano superior) é simplesmente conexa? Forneça argumento visual.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Pense nas deformações possíveis sem sair da região.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    O semiplano não contém furos e é caminho‑conexo. Laços podem ser empurrados para longe da borda e contraídos. Logo é simplesmente conexo.

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Simulação de Manobra — Agosto/1965

    O domínio \(B = D \setminus \{(0,0)\}\) é o disco aberto anterior com o centro removido. Discuta se \(B\) é simplesmente conexo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de conservação podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Remover o ponto cria um furo topológico. Um laço que circunde o centro não pode ser encolhido sem passar pelo ponto removido. Portanto, não é simplesmente conexo.

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Departamento de Navegação — Setembro/1965

    Considere o domínio \(C = \{(x,y) \mid y > \sin x\}\). Argumente sobre sua simples conexidade.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Superfícies sem auto‑intersecções tendem a não prender curvas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    A região acima do gráfico de uma função contínua é homeomorfa ao semiplano superior, logo simplesmente conexa.

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Oficina de Topologia Aplicada — Outubro/1965

    Explique se o interior de um triângulo equilátero é simplesmente conexo e relacione com o disco por deformação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Pense em transformação contínua que preserva fronteiras.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    O interior do triângulo é simplesmente conexo pois pode ser mapeado homeomorficamente (por estiramento) ao disco, que é simplesmente conexo.

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Programa Apollo — Janeiro/1966

    Considere \(\mathbb{R}^3\) menos o eixo \(z\). Este domínio é simplesmente conexo? Apresente pensamento geométrico.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem invariantes relevantes sob rotações em torno do eixo removido.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    A remoção de uma linha infinita cria um furo como um tubo. Um laço que envolve o eixo não pode ser encolhido, logo o domínio não é simplesmente conexo.

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Arquivos Secretos — Fevereiro/1966

    A união de dois discos sobrepostos formando uma "lente" (região de intersecção inclusive) é simplesmente conexa? Justifique.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique se a união introduz buracos novos.
    RELATÓRIO DE CÁLCALO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    A sobreposição mantém região sem furos, permanecendo simplesmente conexa.

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Seção de Ensaios — Março/1966

    Considere a casca esférica \(E = \{(x,y,z) \mid 1 < x^2+y^2+z^2 < 4\}\). É simplesmente conexa? Discuta.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Analise a presença de cavidade central.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    A casca possui cavidade; laços envolvendo a esfera interna não se contraem. Portanto, não é simplesmente conexa.

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Missão Skylab — Dezembro/1973

    A região interior de um toro (rosquinha) em \(\mathbb{R}^3\) é candidata a depósito de combustível. Avalie a simples conexidade.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    O toro tem cavidade central e túnel; logo não é simplesmente conexo.

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Estudo de Heat Shield — Fevereiro/1974

    Propõe‑se remover um setor angular (como um "fatia") de um disco. A nova região permanece simplesmente conexa? Explique.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Com o setor removido não há furos; laços podem escapar pelo corte e se contrair. Portanto, simplesmente conexo.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Cálculo de Navegação Avançada — Abril/1974

    Num cenário em quatro dimensões \(\mathbb{R}^4\), remova o hiperplano \(x_1 = 0\). Discuta intuitivamente se o domínio resultante é simplesmente conexo.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Em dimensão \(4\) remover um hiperplano não cria "túnel" suficiente para obstruir contrações. O domínio continua simplesmente conexo.

PÁGINA 1 DE 17 • DOCUMENTO VX-0042-C
ULTRASSECRETO
```