Documento Sigiloso - Condições de Conservação

EXERCÍCIO VECTOR‑1A

ORIGEM: Mercury‑Atlas 5 — NOV/1961

O campo \(\vec{F}(x,y)=\bigl(2xy,\,x^{2}\bigr)\). Verifique se \(\vec{F}\) é conservativo e, em caso afirmativo, determine a função potencial \(\Phi\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]

[NOTA TÉCNICA]: Considere relacionar as derivadas cruzadas das componentes.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

Verifica‑se \(\partial F_1/\partial y = 2x\) e \(\partial F_2/\partial x = 2x\); logo o campo é conservativo.

Como \(\nabla \Phi = (2xy, x^{2})\), integra‑se: \[ \Phi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + C(y). \] Derivando: \(\partial\Phi/\partial y = x^{2}+C'(y)=F_2=x^{2}\Rightarrow C'(y)=0\). Assim \(\Phi(x,y)=x^{2}y+K\).

EXERCÍCIO VECTOR‑1B

ORIGEM: Mercury‑Redstone 3 — MAI/1961

Seja \(\vec{F}(x,y)=\bigl(y^{3}+2x,\,3xy^{2}+5\bigr)\). Determine se \(\vec{F}\) é conservativo e encontre \(\Phi\) se existir.

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]

[NOTA TÉCNICA]: Observe as potências ímpares das variáveis.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

\(\partial F_1/\partial y = 3y^{2}\) e \(\partial F_2/\partial x = 3y^{2}\) ⇒ conservativo.

Integra‑se \(F_1\) em \(x\): \[ \Phi = \frac{2}{3}x y^{3} + x^{2} + C(y). \] Ajustando, obtém‑se \(\Phi(x,y)=\frac{2}{3}x y^{3} + x^{2}+5y\).

EXERCÍCIO VECTOR‑1C

ORIGEM: Relatório Pré‑Voo — JAN/1962

Verifique se o campo \(\vec{F}(x,y,z)=\bigl(yz,\,xz,\,xy\bigr)\) é conservativo em \(\mathbb{R}^{3}\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]

[NOTA TÉCNICA]: Analise cada componente do rotacional.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

\(\nabla \times \vec{F}=\vec{0}\). Integra‑se e obtém‑se \(\Phi(x,y,z)=xyz\).

EXERCÍCIO VECTOR‑2A

ORIGEM: Gemini‑III — MAR/1965

Determine se o campo \(\vec{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y, -e^{x}\sin y\bigr)\) é conservativo em \(\mathbb{R}^{2}\) e, se for, encontre \(\Phi\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]

Propriedades de exponenciais podem ser relevantes.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

\(\partial F_1/\partial y=-e^{x}\sin y\) e \(\partial F_2/\partial x=-e^{x}\sin y\) ⇒ conservativo.

Integrando: \(\Phi=e^{x}\cos y + K\).

EXERCÍCIO VECTOR‑2B

ORIGEM: Gemini‑IV — JUN/1965

O campo \(\vec{F}(x,y)=\bigl(-y/(x^{2}+y^{2}),\,x/(x^{2}+y^{2})\bigr)\) é definido em \(R=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}\). Verifique se \(\vec{F}\) é conservativo em \(R\) e discuta a independência do caminho para curvas que envolvem a origem.

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]

Campos com singularidades centrais exibem peculiaridades topológicas.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

\(\nabla \times \vec{F}=0\) em \(R\), mas \(R\) não é simplesmente conexo. A integral ao longo da circunferência unitária é \(2\pi\), logo \(\vec{F}\) não é conservativo em \(R\).

EXERCÍCIO VECTOR‑2C

ORIGEM: Gemini‑VII — DEZ/1965

Seja \(\vec{F}(x,y,z)=\bigl(2xyz+z^{2},\,x^{2}z+2yz,\,x^{2}y+2xz\bigr)\). Mostre que \(\vec{F}\) é conservativo e encontre \(\Phi\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]

Utilize simetrias não aparentes no sistema.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

\(\nabla \times \vec{F}=\vec{0}\). Integrações sequenciais fornecem \[ \Phi=x^{2}y z + xyz^{2}+K. \]

EXERCÍCIO VECTOR‑3A

ORIGEM: Apollo‑8 — DEZ/1968

Verifique se \(\vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2}-y^{2},\,2xy\bigr)\) é conservativo em \(\mathbb{R}^{2}\) e determine \(\Phi\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]

Existem simetrias não aparentes no sistema.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

\(\partial F_1/\partial y=-2y\) e \(\partial F_2/\partial x=2y\) ⇒ não é conservativo, pois as derivadas cruzadas diferem em sinal.

EXERCÍCIO VECTOR‑3B

ORIGEM: Apollo‑10 — MAI/1969

Considere o campo \(\vec{F}(x,y,z)=\bigl(y e^{xz},\,z e^{xy},\,x e^{yz}\bigr)\) definido em \(\mathbb{R}^{3}\). Demonstre que \(\vec{F}\) é conservativo e encontre um potencial \(\Phi\).

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]

O expoente carrega uma pista sobre integrações parciais.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

Calcula‑se \(\nabla \times \vec{F}=\vec{0}\). Integra‑se a primeira componente em \(x\): \[ \Phi= e^{xz}y + C(y,z). \] Derivando em \(y\) e ajustando sucessivamente obtém‑se \[ \Phi(x,y,z)=e^{xz}y + e^{xy}z + e^{yz}x + K. \]

EXERCÍCIO VECTOR‑3C

ORIGEM: Relatório ██‑1969‑Ω

Seja o domínio \(D=\mathbb{R}^{3}\setminus\{ z\text{-eixo} \}\) e o campo \(\vec{F}(x,y,z)=\bigl(-y/(x^{2}+y^{2}),\,x/(x^{2}+y^{2}),\,0\bigr)\). Mostre que \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) em \(D\) mas que \(\vec{F}\) não admite potencial global em \(D\). Em seguida, calcule a integral de linha de \(\vec{F}\) ao longo da hélice \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t,\alpha t)\), \(0\le t\le 2\pi\), e discuta o resultado.

ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]

A topologia do domínio desempenha papel crucial.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

Embora \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) em \(D\), o domínio não é simplesmente conexo. A integral ao longo de \(\gamma\) resulta em \(2\pi\), independentemente de \(\alpha\), evidenciando a ausência de potencial global.

EXERCÍCIO VECTOR‑4A

ORIGEM: Apollo‑11 — JUL/1969

Considere o campo gravitacional simplificado \(\displaystyle \vec{G}(x,y,z)= -\frac{GM}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}(x, y, z)\), definido em \(\mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}\). Demonstre que \(\vec{G}\) é conservativo e encontre o potencial associado. Em seguida, calcule o trabalho realizado ao mover a nave de \(|\vec{r}_1|=R\) até \(|\vec{r}_2|=2R\).

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

Mostra‑se que \(\nabla\times\vec{G}=\vec{0}\). O potencial é \(\Phi(r)= -GM/r + K\). O trabalho é \(GM\left(1/R - 1/(2R)\right)=GM/(2R)\).

EXERCÍCIO VECTOR‑4B

ORIGEM: Skylab ███ — 1973

Um vetor campo \(\vec{F}(r,\theta,z)=\bigl(Ar\cos\theta, Ar\sin\theta, Bz\bigr)\) é dado em coordenadas cilíndricas, com \(A,B\) constantes e \(r>0\). Determine se \(\vec{F}\) é conservativo no semiespaço \(z>0\) e, se for, encontre \(\Phi\). Em seguida, calcule \(\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}\) ao longo da espiral \(\gamma(t)=(r_0, t, ct)\), \(0\le t\le 2\pi\), para constantes \(r_0,c>0\).

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

Convertendo para cartesianas verifica‑se \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) em \(z>0\). O potencial é \(\Phi=\frac{A}{2}r^{2}+\frac{B}{2}z^{2}+K\). A integral de linha depende apenas dos extremos e vale \(\Phi(r_0,2\pi,c2\pi)-\Phi(r_0,0,0)=\frac{B}{2}c^{2}(2\pi)^{2}\).

EXERCÍCIO VECTOR‑4C

ORIGEM: Estudo Avançado ████‑Ω‑1975

Seja \(D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z>0\}\) e o campo \(\vec{F}(x,y,z)=\bigl(2xz,2yz,z^{2}\bigr)\). Demonstre que \(\vec{F}\) é conservativo em \(D\), encontre um potencial \(\Phi\) e explique por que o resultado não contradiz o exemplo do exercício VECTOR‑3C.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

Como \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) e \(D\) é simplesmente conexo, existe \(\Phi\). Integrando: \(\partial\Phi/\partial x = 2xz\Rightarrow \Phi=x^{2}z+ C(y,z)\). Prosseguindo, obtém‑se \(\Phi=x^{2}z + y^{2}z + z^{3}/3 + K\).

O exemplo VECTOR‑3C falha em admitir potencial porque seu domínio não é simplesmente conexo; aqui, mesmo com \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\), a topologia amigável de \(D\) garante a existência de \(\Phi\).

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: CONDIÇÕES DE CONSERVAÇÃO