PRIMEIRO, DERIVADA ORIGINAL: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix}\).

MAGNITUDE: \[|\vec{r}'(t)| = \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}.\]

NOVA PARAMETRIZAÇÃO: \(t = u(\tau) = \tau^2\). Então \(\frac{d\vec{r}}{d\tau} = \vec{r}'(u(\tau)) \cdot \frac{du}{d\tau}.\)

COMO \(\frac{du}{d\tau} = 2\tau\), temos: \[ \frac{d\vec{r}}{d\tau} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2(\tau^2) \end{pmatrix} \cdot 2\tau = \begin{pmatrix} 2\tau \\ 4\tau^3 \end{pmatrix}. \]

LOGO, \[\bigl|\frac{d\vec{r}}{d\tau}\bigr| = \sqrt{(2\tau)^2 + (4\tau^3)^2} = \sqrt{4\tau^2 + 16\tau^6} = 2\tau \sqrt{1 + 4\tau^4}.\]

INTEGRAL: \[ \int_{0}^{\sqrt{2}} 2\tau \sqrt{1 + 4\tau^4}\, d\tau. \] (Cálculo numérico ou simbólico pode ser aplicado conforme necessário.)

STATUS: Valor resultante determina o comprimento da trajetória reparametrizada.

PROTOCOLO: Se \(\vec{r}(t)\) descreve semicircunferência, temos \(|\vec{r}'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = 1.\)

UMA POSSÍVEL REPARAMETRIZAÇÃO: \(u(\tau) = \tau^2\), definindo \(t = u(\tau)\). Podem-se escolher faixas de \(\tau\) adequadas para cobrir \([0,\pi]\).

AO REPARAMETRIZAR, segue \(\frac{d\vec{r}}{d\tau} = \vec{r}'(u(\tau)) \cdot u'(\tau)\). Como a função \(f(\vec{r})=1\), a integral reduz-se ao cálculo de comprimento via \(\int |\vec{r}'(\tau)|\, d\tau\).

COMPRIMENTO FINAL: \(\pi\) (pois o arco semicircular de raio 1 tem comprimento \(\pi\)).

PROCEDIMENTO: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} e^t \\ 1 \end{pmatrix}\), então \(|\vec{r}'(t)| = \sqrt{e^{2t} + 1}.\)

PROPOSTA: Use \(\tau = e^t\) para simplificar o termo. Então \(t = \ln(\tau)\) e \(\frac{d\tau}{dt} = e^t = \tau\).

SOB A NOVA VARIÁVEL: \(\tau\) varia de \(\tau(0)=1\) até \(\tau(1)=e\). A expressão \[ \int_1^{e} \sqrt{\tau^2 + 1} \,\frac{d t}{d \tau}\, d\tau \] demanda computar \(\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\tau}\).

ASSIM, \[ \int_1^{e} \sqrt{\tau^2 + 1} \cdot \frac{1}{\tau} \, d\tau. \] A partir daí, aplica-se o método adequado para avaliação (simbólica ou numérica).

DEFINIÇÃO: Se \(\tau = \sqrt{t}\), então \(t = \tau^2\). Nesse caso, \(\vec{r}(\tau) = \begin{pmatrix} \tau \\ \tau^2 \\ 2\tau^2 \end{pmatrix}\) e \(\frac{d\vec{r}}{d\tau}\) simplifica.

A MAGNITUDE \(\left|\frac{d\vec{r}}{d\tau}\right|\) torna a integral mais direta. O intervalo \(\tau\) vai de 0 até 2 (pois quando \(t=4\), \(\tau=2\)).

LOGO, \[ \int_0^{2} \bigl|\frac{d\vec{r}}{d\tau}\bigr|\, d\tau \] representa o mesmo comprimento que a integral original. Cálculos adicionais são análogos aos passos anteriores.

DERIVADA ORIGINAL: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 2\cos t \\ -2\sin t \\ 1 \end{pmatrix}\).

MAGNITUDE: \[ |\vec{r}'(t)| = \sqrt{(2\cos t)^2 + (-2\sin t)^2 + 1^2} = \sqrt{4\cos^2 t + 4\sin^2 t + 1} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}. \]

FUNÇÃO: \(f(\vec{r}) = 2 + t\). Assim, \[ \int_0^{\pi} (2 + t)\sqrt{5}\, dt = \sqrt{5} \int_0^{\pi} (2 + t)\, dt. \]

Reparametrização \(\tau = t^2\) pode ser feita, embora aqui a forma original já seja simples. Em casos gerais, a mudança de parâmetro ajusta melhor intervalos de integração.

DEFINIÇÃO: Se desejamos \(\tau \in [0,1]\), podemos aplicar \(\tau = \frac{t - 1}{2}\). Assim, quando \(t=1\), \(\tau=0\), e quando \(t=3\), \(\tau=1\).

ENTÃO \(t = 2\tau + 1\). Derivando, \(\frac{dt}{d\tau} = 2\).

CÁLCULO: \[ \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 6t \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |\vec{r}'(t)| = \sqrt{1 + 36t^2}. \]

AO MUDAR DE PARÂMETRO: \(\int_0^1 3 \,\sqrt{1 + 36(2\tau+1)^2}\, \cdot 2\, d\tau.\)

O resultado final depende de integração específica, mas a técnica geral ilustra o método de normalização do intervalo.

DEFINIÇÃO: Para eliminar \(e^{2t}\), uma escolha possível: \(\tau = e^{2t}\). Daí \(t = \frac{1}{2}\ln(\tau)\).

CÁLCULO: \(\vec{r}(\tau) = \begin{pmatrix} \tau \\ \ln\bigl(1 + \bigl(\tfrac{1}{2}\ln(\tau)\bigr)^2\bigr) \\ \tfrac{1}{2}\ln(\tau) \end{pmatrix}\).

COM \(f(\vec{r}) = 2e^{-2t} = 2e^{-2\cdot(\frac{1}{2}\ln(\tau))} = 2\tau^{-1}\).

DERIVADA e limites de integração \(\tau(0)=1\), \(\tau(2)=e^4\) completam o procedimento. Integra-se \[ \int_1^{e^4} 2\tau^{-1}\,\Bigl|\frac{d\vec{r}}{d\tau}\Bigr|\, d\tau. \] O resultado final depende do processamento específico.

ANÁLISE: Derivada original \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 3t^2 \\ e^t - 1 \end{pmatrix}\).

REPARAMETRIZANDO COM \(\tau = t^3\), obtemos \(t = \tau^{1/3}\). Então, \(\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{3\tau^{2/3}}\) e a derivada da curva em função de \(\tau\) ajusta a integral.

RESULTADO: Intervalo de \(\tau\) vai de 0 até 1, possibilitando uma eventual simplificação no cálculo numérico de \(\int_0^1 (1 + \tau^{1/3}) \ldots\, d\tau\).

DETALHES ALGÉBRICOS FICAM EM SIGILO: ████████.

SEJA \(\tau = t^2\). Então \(t = \sqrt{\tau}\), \(\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{2\sqrt{\tau}}\).

DERIVADA: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 2t\cos(t^2) \\ 1 \end{pmatrix}\).

MAGNITUDE: \[ |\vec{r}'(t)| = \sqrt{(2t\cos(t^2))^2 + 1}. \] O novo intervalo de \(\tau\) será \([0,\pi]\).

O CÁLCULO FINAL ENVOLVE: \(\int_0^\pi \sqrt{(2\sqrt{\tau}\cos \tau)^2 + 1}\,\cdot \frac{d\tau}{2\sqrt{\tau}}\).

RESULTADO: Interpreta-se como comprimento de arco com mudança de parâmetro.

ABORDAGEM: Reparametrizar via \(\tau = \sqrt{1 + t^2}\) ou outra escolha. Definir limites e efetuar integração.

NOTA: O valor de \(f(\vec{r})\) permanece restrito aos dados de consumo energético do módulo.

CONCLUSÃO: RESULTADO DISSIMULADO (Uso exclusivo do setor orbital).

POSSÍVEL REPARAMETRIZAÇÃO: \(\tau = e^t\) ou \(\tau = \sin t + t\). Passos de cálculo envolvem derivadas, módulo e substituição em \(\int (t^2 + 3)|\vec{r}'(t)|\, dt\).

USO TÁTICO: Ajustes de trajetória para aproximação lunar exigem controle preciso do consumo de propelente.

PROCEDIMENTO: Normalização típica \(\tau = \frac{t}{2}\), de modo que \(t=2\tau\) mapeie \([0,2]\) em \([0,1]\). Outras transformações podem ser consideradas.

MAGNITUDE DE \(\vec{r}'(t)\) e multiplicador \(\frac{dt}{d\tau}\) definem a integral a ser computada.

AVALIAÇÃO: Resultados numéricos podem servir de parâmetro para verificação de estabilidade orbital.