Primeiro, obtemos a derivada: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \end{pmatrix}\).

Assim, \(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{2^2 + (2t)^2} = \sqrt{4 + 4t^2} = 2\sqrt{1 + t^2}\).

Portanto, o comprimento é: \[ \int_0^2 \|\vec{r}'(t)\|\, dt = \int_0^2 2\sqrt{1 + t^2}\, dt. \]

A integral resultante (usando substituições padrão) é \[ 2 \int_0^2 \sqrt{1 + t^2}\, dt = 2 \left[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(t + \sqrt{1+t^2}\bigr)\right]_0^2. \]

Cálculo numérico: \(\sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}\). Substituindo os limites, obtemos o valor final aproximado. O resultado indica o comprimento total exigido para a manobra simulada.

Derivando, temos: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix}\).

Logo, \[ \|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. \]

O comprimento é constante em função de \(t\), então \[ \int_0^\pi \sqrt{2}\, dt = \sqrt{2} \cdot \pi. \]

Interpretação: o termo \(\pi\sqrt{2}\) representa a soma do deslocamento vertical (em \(\vec{k}\)) com a variação circular no plano \(xy\). A manobra seria análoga a um “giro” enquanto a cápsula se desloca em altitude.

Derivando: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ e^t \end{pmatrix}\).

Então \(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{1^2 + (e^t)^2} = \sqrt{1 + e^{2t}}.\)

O comprimento: \[ \int_0^1 \sqrt{1 + e^{2t}}\, dt. \] Não possui antiderivada elementar simples, mas pode ser estimado numericamente. Já a curva de referência apresenta \(\|\vec{r}'_{\text{ref}}(t)\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), resultando em um comprimento exato de \(\sqrt{2}\).

Conclusão: o crescimento exponencial de \(e^t\) gera um incremento maior em relação à reta de referência.

\(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} -2\sin t \\ 2\cos t \\ \frac{1}{2\sqrt{t}} \end{pmatrix}\).

\(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)^2} = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t + \frac{1}{4t}}.\)

Como \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), isso simplifica para \[ \sqrt{4 + \frac{1}{4t}} = \sqrt{\frac{16t + 1}{4t}} = \sqrt{\frac{16t+1}{4t}}. \]

O comprimento será \[ \int_0^4 \sqrt{\frac{16t+1}{4t}}\, dt, \] cuja avaliação requer manipulação algébrica ou métodos numéricos apropriados. A presença de \(\sqrt{t}\) em \(z\) indica que, enquanto a projeção é um círculo de raio 2, existe um crescimento suave em altitude à medida que \(t\) aumenta.

Derivando: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 - 2t \\ 2 \end{pmatrix}\).

\(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{1^2 + (3 - 2t)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 - 12t + 4t^2 + 4} = \sqrt{14 + 4t^2 - 12t}.\)

O comprimento: \[ \int_0^3 \sqrt{14 + 4t^2 - 12t}\, dt. \] Após completar quadrado ou usar substituições, o resultado pode ser determinado numericamente. Na projeção \(xy\), a curva \((t, 3t - t^2)\) possui ponto de inflexão em \(t=1.5\). Isso afeta a trajetória ao alterar a curvatura antes de uma queda na componente \(y\).

A linha de interseção satisfaz \(z=2\) e \(y=4-x\). Uma parametrização simples é: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} t \\ 4 - t \\ 2 \end{pmatrix}, \quad t \in [0,4]. \]

Logo, \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\), e \(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}.\)

O comprimento do trecho é \(\int_0^4 \sqrt{2}\, dt = 4\sqrt{2}.\)

Conclusão: Trata-se de uma transferência retilínea entre dois pontos, útil em manobras de correção de curso quando a capacidade de ajuste fino é limitada.

\(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} -2\cos t\,\sin t \\ 2\sin t\,\cos t \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin 2t \\ \sin 2t \\ 1 \end{pmatrix}.\)

\(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{(-\sin 2t)^2 + (\sin 2t)^2 + 1} = \sqrt{\sin^2 2t + \sin^2 2t + 1} = \sqrt{2\sin^2 2t + 1}.\)

O comprimento é \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + 2\sin^2(2t)}\, dt. \] Este valor requer métodos numéricos ou transformações trigonométricas. A análise sugere que a variação combinada em \(x\) e \(y\) associada ao crescimento linear em \(z\) pode demandar maior uso de propulsores para correção fina.

\(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{1+t} \\ \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \end{pmatrix}\).

Logo, \[ \|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{1}{1+t}\right)^2 + \left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2}. \]

A integral \(\int_0^2 \sqrt{4 + \frac{1}{(1+t)^2} + \frac{t^2}{1+t^2}}\, dt\) não admite solução elementar simples. Comparações numéricas mostram que o crescimento de \(\ln(1+t)\) é modesto, enquanto as variações em \(x=2t\) e \(z=\sqrt{1+t^2}\) dominam o comportamento do comprimento total.

Observamos que \(\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1\). Logo, \(x^2 + y^2 - z^2 = \cosh^2 t + \sinh^2 t - t^2\). Entretanto, \(\cosh^2 t + \sinh^2 t = 2\sinh^2 t + 1\). Não necessariamente isso iguala \(t^2\); há de se verificar coerência para o intervalo \([0,1]\).

A derivada: \(\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} \sinh t \\ \cosh t \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(\|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{\sinh^2 t + \cosh^2 t + 1}.\) Usando identidades hiperbólicas, \(\sinh^2 t + \cosh^2 t = \cosh(2t) + 1\) (requer cuidado).

A integral de \[ \int_0^1 \sqrt{\cosh(2t) + 2}\, dt \] determina o comprimento. A consistência com \(F(x,y,z)=0\) depende de ajustes no modelo: a forma exata do trajeto pode sofrer variações para atender \(\cosh^2 t + \sinh^2 t = t^2\). Em aplicações reais, validamos numericamente a trajetória.

Sem a forma explícita de \(f(t)\), a integral de linha exige modelagem adicional. Caso \(f(t)\) seja polinomial de grau \(n\), procede-se com: \[ \|\vec{r}'(t)\| = \sqrt{1 + (2t)^2 + (f'(t))^2}. \]

A análise final demanda estimativas numéricas e verificação de estabilidade. Conclusão: estrutura da curva suporta trajetórias se o comprimento total permanecer abaixo de limites previstos pelas tabelas de consumo de propelente.

Cada trecho cúbico \(\vec{r}_k(t)\) possui \(\vec{r}_k'(t)\) contínuo nas junções. O comprimento total soma-se das integrais de cada arco: \[ \sum_k \int_{a_k}^{b_k} \|\vec{r}_k'(t)\|\ dt. \] Caso a aceleração mínima seja imposta, há um alargamento das curvas, ampliando o percurso. Simulações indicam que ultrapassamos o valor ██ para a manobra agregada.

O procedimento geral: \[ \int_C ds = \int_a^b \sqrt{(\alpha'(t))^2 + (\beta'(t))^2 + (\gamma'(t))^2}\ dt. \] Sem explicitá-las, podemos definir apenas limites e técnicas de integração apropriadas (por exemplo, quadraturas numéricas ou análises de sensibilidade).

Conclusão: A reentrada controlada é validada ao demonstrar que o comprimento calculado permanece consistente com margens de segurança definidas pela missão.