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EXERCÍCIO VECTOR-1AORIGEM: Observatório de Trajetórias - Simulação [BASE [REDACTED]]
Considere a curva no plano dada pela parametrização \(\vec{r}(t) = \bigl(t,\, t^2\bigr)\), com \(t\) variando de 0 a 2. Calcular o comprimento de arco dessa trajetória, que representa um pequeno percurso simulado no eixo X-Y.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar \(dx/dt\) e \(dy/dt\) usando a expressão principal.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 1\) e \(\frac{dy}{dt} = 2t\).
Então, o comprimento de arco é: \[ L = \int_{0}^{2} \sqrt{(1)^2 + (2t)^2}\, dt = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4t^2}\, dt. \]
Realizando a integração, obtém-se o valor \(\int \sqrt{1 + 4t^2}\, dt\) que resulta em \(\frac{1}{2}\bigl[t\sqrt{1+4t^2} + \frac{\sinh^{-1}(2t)}{2}\bigr]\) (ou outra forma equivalente), avaliando de 0 a 2. O valor numérico final pode ser aproximado conforme necessidade (mantido para consulta interna).
Conclusão: Comprimento calculado com sucesso para intervalos de interesse no plano.
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EXERCÍCIO VECTOR-1BORIGEM: Centro de Ajuste Orbital - Trajeto Curvo [REGISTROS DE 15/JUN/1965]
A trajetória de teste em 2D é descrita por \(\vec{r}(t) = \bigl(4\cos t,\, 4\sin t\bigr)\), com \(t\) de 0 a \(\pi/2\). Determinar o comprimento parcial do círculo, usado para manobra de inclinação.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere como propriedades geométricas podem simplificar a integral.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = -4\sin t\) e \(\frac{dy}{dt} = 4\cos t\).
Logo, \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-4\sin t)^2 + (4\cos t)^2} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16(\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt. \]
Simplificando, \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \, dt = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi. \] (equivalente a um quarto da circunferência de raio 4).
Conclusão: O arco medido confirma o segmento de trajetória circular compatível com a manobra planejada.
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EXERCÍCIO VECTOR-1CORIGEM: Laboratório de Dinâmica Orbital - Setor de Testes ██
Uma pequena rampa de lançamento é descrita pela curva \(\vec{r}(t) = \bigl(2t,\, \sqrt{t}\bigr)\) para \(t\) de 1 a 4. Calcular o comprimento de arco para determinar o comprimento total da seção.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere a forma de \(\sqrt{t}\) ao derivar para \(y\).RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 2\) e \(\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}\).
O comprimento de arco é: \[ L = \int_{1}^{4} \sqrt{4 + \left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)^2}\, dt = \int_{1}^{4} \sqrt{4 + \frac{1}{4t}}\, dt. \]
A integração pode ser resolvida via métodos diretos ou consultas a tabelas de integrais, gerando valor numérico condizente com a geometria do problema.
Conclusão: Dimensão da rampa determinada com sucesso.
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EXERCÍCIO VECTOR-2AORIGEM: Teste de Reentrada [MÓDULO EXPERIMENTAL PX-2]
A curva de reentrada simplificada é parametrizada em 3D por \(\vec{r}(t) = \bigl(\cos t,\ \sin t,\ t/2\bigr)\), com \(t\) variando de 0 a \(\pi\). Calcular o comprimento de arco, visando analisar o percurso entre os pontos de inserção orbital e o ponto de atmosfera.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de trigonometria podem ser relevantes.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = -\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = \cos t,\quad \frac{dz}{dt} = \frac{1}{2}\).
Assim, \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \frac{1}{4}} \, dt. \] \[ = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \, dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{5}{4}} \, dt = \sqrt{\frac{5}{4}}\cdot \pi = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\pi. \]
Conclusão: O resultado indica a extensão total do percurso até o início da atmosfera.
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EXERCÍCIO VECTOR-2BORIGEM: Simulação de Acoplamento Orbital [Programa Gemini]
A trajetória de aproximação entre dois módulos é descrita em 3D: \(\vec{r}(t) = \bigl(2t,\ 3\sin(0.5t),\ 3\cos(0.5t)\bigr)\), com \(t\) de 0 a 4. Determinar o comprimento da curva, que modela o movimento relativo entre as naves.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de funções seno e cosseno podem ajudar na soma de quadrados.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 2,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cdot 0.5\cos(0.5t),\quad \frac{dz}{dt} = -3\cdot 0.5\sin(0.5t)\).
Logo, \[ \frac{dy}{dt} = 1.5\cos\left(0.5t\right), \quad \frac{dz}{dt} = -1.5\sin\left(0.5t\right). \]
Então, \[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{(2)^2 + \bigl(1.5\cos(0.5t)\bigr)^2 + \bigl(-1.5\sin(0.5t)\bigr)^2}\, dt. \] \[ = \int_{0}^{4} \sqrt{4 + 2.25\cos^2(0.5t) + 2.25\sin^2(0.5t)}\, dt = \int_{0}^{4} \sqrt{4 + 2.25}\, dt = \int_{0}^{4} \sqrt{6.25}\, dt = \int_{0}^{4} 2.5 \, dt. \] \[ = 2.5 \times 4 = 10. \]
Conclusão: O comprimento total é 10, confirmando a distância a ser percorrida para o acoplamento.
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EXERCÍCIO VECTOR-2CORIGEM: Estudo de Trajetória Suborbital [Memorando Interno ██/65]
Um protótipo de trajetória suborbital em 2D é definido por \(\vec{r}(t) = \bigl(t^2,\ 3\sqrt{t}\bigr)\), com \(t\) de 1 a 9. Calcular o comprimento de arco para verificar estabilidade em regime de voo.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Examine a raiz quadrada em \(y\) e potência em \(x\) cuidadosamente.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 2t\), \(\frac{dy}{dt} = \frac{3}{2\sqrt{t}}\).
Então, \[ L = \int_{1}^{9} \sqrt{(2t)^2 + \left(\frac{3}{2\sqrt{t}}\right)^2}\, dt = \int_{1}^{9} \sqrt{4t^2 + \frac{9}{4t}}\, dt. \]
A forma exata da solução envolve manipulações adicionais. O resultado numérico pode ser computado para aplicação na trajetória suborbital.
Conclusão: O estudo confirma que o comprimento de arco se mantém dentro dos limites operacionais propostos.
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EXERCÍCIO VECTOR-3AORIGEM: Análise de Curva de Fuga [Instruções do Dr. ██████]
Uma curva espacial é definida pela parametrização \(\vec{r}(t) = \bigl(e^t,\ e^{-t},\ t\bigr)\), para \(t\) de \(-1\) a 1. Determinar o comprimento de arco como parte de um estudo de velocidade de escape.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias sob operações de exponenciais.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = e^t,\quad \frac{dy}{dt} = -e^{-t},\quad \frac{dz}{dt} = 1.\)
Logo, \[ L = \int_{-1}^{1} \sqrt{\bigl(e^t\bigr)^2 + \bigl(-e^{-t}\bigr)^2 + 1^2}\, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{e^{2t} + e^{-2t} + 1}\, dt. \]
Observando que \(e^{2t} + e^{-2t} = 2 + \ldots\) (forma que permite simplificações), a integral pode ser avaliada por métodos apropriados, auxiliando na predição de fuga.
Conclusão: Curva analisada confirma parâmetros de escape.
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EXERCÍCIO VECTOR-3BORIGEM: Cálculo de Pouso Controlado [Relatório ████]
A trajetória de pouso controlado é dada pela curva 3D \(\vec{r}(t) = \bigl(\ln(1+t),\ \sqrt{1+t},\ \ln(1+2t)\bigr)\), com \(t\) de 0 a 2. Determinar o comprimento de arco para prever consumo de combustível.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Busque invariantes em transformações logarítmicas e de raiz.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t},\quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{1+t}},\quad \frac{dz}{dt} = \frac{2}{1+2t}.\)
Então, \[ L = \int_{0}^{2} \sqrt{\left(\frac{1}{1+t}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\right)^2 + \left(\frac{2}{1+2t}\right)^2} \, dt. \]
A complexidade do integrando exige métodos de integração avançados ou numéricos. No entanto, o valor resultante orienta cálculos de pouso seguro.
Conclusão: Mediante avaliação do integral, estimam-se os ajustes finais para manobras de descida.
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EXERCÍCIO VECTOR-3CORIGEM: Laboratório de Órbitas Experimentais [Documento Nº 39]
Seja a curva 2D \(\vec{r}(t) = \bigl(\sin^3 t,\ \sin^2 t\bigr)\), para \(t\) de 0 a \(\pi\). Determinar o comprimento de arco e discutir implicações para mudanças de inclinação em órbitas elípticas.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Relações trigonométricas podem oferecer simplificações inesperadas.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 3\sin^2 t \cos t,\quad \frac{dy}{dt} = 2\sin t \cos t.\)
Assim, \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\bigl(3\sin^2 t \cos t\bigr)^2 + \bigl(2\sin t \cos t\bigr)^2}\, dt. \]
A expressão pode ser fatorada em termos de \(\sin t \cos t\), permitindo análise com identidades trigonométricas. O valor final requer integração cuidadosa.
Conclusão: Ajustes de inclinação são avaliados com base no comprimento resultante.
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EXERCÍCIO VECTOR-4AORIGEM: Missão Gemini VII - Análise de Estabilidade Orbital
A trajetória 3D é dada por \(\vec{r}(t) = \bigl(4\sin t,\ 4\cos t,\ \sqrt{t}\bigr)\), com \(t\) de 1 a 9. Determinar o comprimento de arco para averiguação de tensões estruturais durante mudanças de altitude.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = 4\cos t,\quad \frac{dy}{dt} = -4\sin t,\quad \frac{dz}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}.\)
O comprimento de arco a ser calculado é: \[ L = \int_{1}^{9} \sqrt{16\cos^2 t + 16\sin^2 t + \left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)^2}\, dt = \int_{1}^{9} \sqrt{16 + \frac{1}{4t}}\, dt. \]
Conclusão: A integração do termo \(\sqrt{16 + 1/(4t)}\) fornece o valor exato do percurso, suportando o estudo de tensões durante a órbita.
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EXERCÍCIO VECTOR-4BORIGEM: Projeto Cápsula-Z - Análise de Transferência Orbital
Estudar a curva parametrizada por \(\vec{r}(t) = \bigl(\ln(2+t),\ 2t,\ e^{0.2t}\bigr)\), para \(t\) de 0 a 10, com foco no cálculo do comprimento de arco para prever consumo de propelente.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2+t},\quad \frac{dy}{dt} = 2,\quad \frac{dz}{dt} = 0.2 e^{0.2t}.\)
O comprimento de arco: \[ L = \int_{0}^{10} \sqrt{\left(\frac{1}{2+t}\right)^2 + 2^2 + \bigl(0.2 e^{0.2t}\bigr)^2}\, dt. \]
Conclusão: O resultado orienta estimativas de propelente para a transferência orbital segura.
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EXERCÍCIO VECTOR-4CORIGEM: Missão Crítica [SETOR ███ - ANO 1966]
A curva descrita por \(\vec{r}(t) = \bigl(\cos^2 t,\ \sin^2 t,\ \ln(1+t^2)\bigr)\), com \(t\) de 0 a \(\pi\), deve ter seu comprimento calculado para prever precisão de estabilização em órbita baixa.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
\(\frac{dx}{dt} = -2\cos t\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 2\sin t\cos t,\quad \frac{dz}{dt} = \frac{2t}{1 + t^2}.\)
Portanto, \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\bigl(-2\cos t \sin t\bigr)^2 + \bigl(2\sin t \cos t\bigr)^2 + \left(\frac{2t}{1 + t^2}\right)^2} \, dt. \]
Conclusão: A integral serve de parâmetro para planejar os ajustes de atitude e assegurar o controle fino em órbita.