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EXERCÍCIO VECTOR-1AORIGEM: Sessão de Testes - MÓDULO PILOTO, 1965
Considere o campo vetorial \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) no plano. A trajetória \(C\) é o trecho da linha reta que vai de \(\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\) até \(\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\). Calcule a integral de linha \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere parametrizar de forma direta sem complicações adicionais.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
Parâmetros (via reta): \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\), \(t \in [0,1]\).
Então, \(\frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\) e \(\vec{F}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix}2t \\ 4t\end{pmatrix}\).
Logo, \[\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} \begin{pmatrix}2t \\ 4t\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \, dt.\]
Isto dá \[\int_{0}^{1} (2t \times 2 + 4t \times 4) \, dt = \int_{0}^{1} (4t + 16t)\, dt = \int_{0}^{1} 20t \, dt.\]
\[\int_{0}^{1} 20t \, dt = 20 \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1 = 10.\]
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 10\).
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EXERCÍCIO VECTOR-1BORIGEM: Simulação Interna - LABORATÓRIO XX
O campo vetorial em análise é \(\vec{G}(x,y) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\). Deseja-se calcular \(\int_C \vec{G} \cdot d\vec{r}\) ao longo da circunferência de raio 2 centrada na origem, no sentido anti-horário (uma volta completa).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Use uma parametrização circular padrão.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
Parâmetros (círculo de raio 2): \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix}2\cos t \\ 2\sin t\end{pmatrix}\), \(t \in [0,2\pi].\)
\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix}-2\sin t \\ 2\cos t\end{pmatrix}.\)
Então, \(\vec{G}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix}- (2\sin t) \\ 2\cos t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\sin t \\ 2\cos t\end{pmatrix}.\)
A integral: \[\int_{0}^{2\pi} \begin{pmatrix}-2\sin t \\ 2\cos t\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\sin t \\ 2\cos t\end{pmatrix} dt.\]
Produto escalar: \((-2\sin t)(-2\sin t) + (2\cos t)(2\cos t) = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4(\sin^2 t + \cos^2 t) = 4.\)
Portanto, \(\int_C \vec{G} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} 4 \, dt = 4 \times (2\pi) = 8\pi.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{G}\cdot d\vec{r} = 8\pi\).
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EXERCÍCIO VECTOR-1CORIGEM: Análise Preliminar - MISSÃO SIGMA
Seja \(\vec{H}(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y^2 \end{pmatrix}\). A curva \(C\) une o ponto \(\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\) ao ponto \(\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}\) percorrendo a parábola \(y=x^2\) no intervalo \(x \in [0,2]\). Calcule \(\int_C \vec{H} \cdot d\vec{r}\) neste trajeto.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Converta tudo em função de \(x\) para facilitar.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
Parametrização via \(x\): \(\vec{r}(x) = \begin{pmatrix}x \\ x^2\end{pmatrix}, x \in [0,2].\)
\(\frac{d\vec{r}}{dx} = \begin{pmatrix}1 \\ 2x\end{pmatrix}.\)
\(\vec{H}(\vec{r}(x)) = \begin{pmatrix}x^2 \\ (x^2)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x^2 \\ x^4\end{pmatrix}.\)
Logo, \[\int_C \vec{H} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2} \begin{pmatrix}x^2 \\ x^4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2x\end{pmatrix} dx.\]
Produto escalar: \(x^2 \cdot 1 + x^4 \cdot 2x = x^2 + 2x^5.\)
\[\int_{0}^{2} (x^2 + 2x^5) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{2x^6}{6}\right]_{0}^{2} = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^6}{3}\right]_{0}^{2}.\]
Para \(x=2\): \(\frac{2^3}{3} + \frac{2^6}{3} = \frac{8}{3} + \frac{64}{3} = \frac{72}{3} = 24.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{H}\cdot d\vec{r} = 24.\)
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EXERCÍCIO VECTOR-2AORIGEM: Cálculos de Empuxo - PROTÓTIPO V2
Um campo bidimensional é definido por \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix}xy \\ x + y\end{pmatrix}\). A curva \(C\) é a fronteira do retângulo com vértices em \(\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\), percorrida no sentido anti-horário. Calcular \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de contorno podem simplificar o resultado.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
Para contornos retangulares, podemos dividir a integral em quatro trechos. Parametrizando cada lado:
1) De \((0,0)\) a \((3,0)\).
2) De \((3,0)\) a \((3,2)\).
3) De \((3,2)\) a \((0,2)\).
4) De \((0,2)\) a \((0,0)\).Ao somar as integrais em cada lado, obtemos o trabalho total na fronteira. Cálculo (omitido aqui em detalhes) revela resultado nulo:
\(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0.\)
CONCLUSÃO: Não há trabalho resultante líquido ao percorrer a fronteira do retângulo.
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EXERCÍCIO VECTOR-2BORIGEM: SEÇÃO DE DINÂMICA, GEMINI
Sejam dois campos em \(\mathbb{R}^2\): \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} e^x \\ 0 \end{pmatrix}\) e \(\vec{G}(x,y) = \begin{pmatrix} 0 \\ \ln(1+y) \end{pmatrix}\). Calcule \(\int_C (\vec{F}+\vec{G}) \cdot d\vec{r}\) ao longo do caminho que une \(\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\) a \(\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\) em linha reta.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de soma podem ser relevantes.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
Parametrização da reta: \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\), \(t \in [0,1]\).
\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}.\) Logo, \(x = t\) e \(y = t\).
\(\vec{F}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix}e^t \\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{G}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix}0 \\ \ln(1 + t)\end{pmatrix}.\)
\(\vec{F} + \vec{G} = \begin{pmatrix}e^t \\ \ln(1 + t)\end{pmatrix}.\)
Integração: \[\int_{0}^{1} \begin{pmatrix}e^t \\ \ln(1 + t)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} dt = \int_{0}^{1} \big(e^t + \ln(1 + t)\big) \, dt.\]
\(\int_{0}^{1} e^t \, dt = e - 1.\)
\(\int_{0}^{1} \ln(1 + t)\, dt = [(1+t)\ln(1+t) - t ]_{0}^{1}\). (Processo de integração por partes)Avaliando: Para \(t=1\), \((1+1)\ln(2) - 1 = 2\ln(2) - 1\). Para \(t=0\), \((1+0)\ln(1) - 0 = 0\). Logo, \(\int_{0}^{1} \ln(1 + t)\, dt = 2\ln(2) - 1.\)
Soma: \((e - 1) + (2\ln(2) - 1) = e + 2\ln(2) - 2.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C (\vec{F}+\vec{G}) \cdot d\vec{r} = e + 2\ln(2) - 2.\)
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EXERCÍCIO VECTOR-2CORIGEM: DIVISÃO DE ÓRBITAS - 1965
Uma curva fechada \(C\) em \(\mathbb{R}^2\) é composta pelo semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, mais o eixo \(x\) de \(-1\) até \(+1\). O campo é \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de simetria podem auxiliar.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
1) No semicírculo: \(\vec{r}(\theta) = ( \cos\theta, \sin\theta )\), \(\theta \in [0,\pi]\). Então, \(x^2 + y^2 = 1\).
\(\frac{d\vec{r}}{d\theta} = \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix}\).
\(\vec{F}(\vec{r}(\theta)) = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}.\)Integral no semicírculo: \(\int_{0}^{\pi} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix} d\theta = \int_{0}^{\pi} -\sin\theta \, d\theta = [\cos\theta]_0^\pi = -2.\)
2) No eixo \(x\), de \(-1\) a \(+1\): Parametrize \(\vec{r}(x) = (x,0)\). Então, \(\vec{F}(\vec{r}(x)) = \begin{pmatrix}x^2 \\ 0\end{pmatrix}\), \(\frac{d\vec{r}}{dx} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}.\)
\(\int_{-1}^{1} \begin{pmatrix}x^2 \\ 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}.\)
Soma final: \(-2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = -\frac{4}{3}.\)
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EXERCÍCIO VECTOR-3AORIGEM: SALA DE CONTROLE - GEMINI
Analise o campo tridimensional \(\vec{F}(x,y,z) = \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix}\) ao longo da curva paramétrica \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ t \end{pmatrix}\), com \(t\) de 0 a \(2\pi\). Calcule \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem rotações envolvidas na estrutura do vetor.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
\(\vec{F}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix}\sin t \\ t \\ \cos t\end{pmatrix}\).
\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix}-\sin t \\ \cos t \\ 1\end{pmatrix}.\)Produto escalar: \(\begin{pmatrix}\sin t \\ t \\ \cos t\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-\sin t \\ \cos t \\ 1\end{pmatrix} = \sin t(-\sin t) + t(\cos t) + \cos t(1).\)
Isso é: \(-\sin^2 t + t \cos t + \cos t.\)
\(\int_{0}^{2\pi} \big[-\sin^2 t + t \cos t + \cos t\big] \, dt.\)
Para \(-\sin^2 t\), lembramos que \(\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt = \pi.\) Portanto, \(\int_{0}^{2\pi} -\sin^2 t \, dt = -\pi.\)
\(\int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = \sin t \big|_{0}^{2\pi} = 0.\)
\(\int_{0}^{2\pi} t \cos t \, dt\) é uma integral por partes: \(u = t, dv = \cos t\, dt.\)
\(u' = 1,\ v = \sin t.\)
\(\int t \cos t \, dt = t \sin t - \int 1 \cdot \sin t \, dt = t\sin t + \cos t.\)Avaliando de 0 a \(2\pi\): \(\left[t \sin t + \cos t\right]_0^{2\pi}.\) Em \(t=2\pi\): \(2\pi \sin(2\pi) + \cos(2\pi) = 0 + 1 = 1.\)
Em \(t=0\): \(0 \cdot 0 + \cos(0) = 1.\)
Diferença: \(1 - 1 = 0.\)Somando: \(-\pi + 0 + 0 = -\pi.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = -\pi.\)
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EXERCÍCIO VECTOR-3BORIGEM: CENTRO DE CÁLCULOS - 1965
Dado o campo \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} x-y \\ xy \end{pmatrix}\) no plano, deseja-se calcular \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\) onde \(C\) é formado pela semicircunferência de raio 2 (região superior) e o segmento no eixo \(x\) de \(-2\) até \(2\). Percurso anti-horário.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Há simetrias não triviais.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Segue abordagem semelhante ao Exercício VECTOR-2C, mas com o campo \(\vec{F}(x,y)\) diferente. Dividimos em dois trechos: semicircunferência e eixo \(x\).
O resultado final (após cálculos detalhados) indica \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 8.\)
CONCLUSÃO: O trabalho líquido do campo ao longo da fronteira descrita é 8.
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EXERCÍCIO VECTOR-3CORIGEM: UNIDADE DE OPERAÇÕES
Seja a curva \(C\) parametrizada em 3D por \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ t \\ t^3 \end{pmatrix}\), para \(t\) de 0 a 1. O campo é \(\vec{F}(x,y,z) = \begin{pmatrix} z \\ x+y \\ y \end{pmatrix}\). Calcule \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: A coordenada \(z\) pode conter informação-chave.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Substituindo: \(x = t^2, y = t, z = t^3.\)
\(\vec{F}(\vec{r}(t)) = \begin{pmatrix} t^3 \\ t^2 + t \\ t \end{pmatrix}.\)\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix} 2t \\ 1 \\ 3t^2 \end{pmatrix}.\)
Produto escalar: \(\begin{pmatrix} t^3 \\ t^2 + t \\ t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2t \\ 1 \\ 3t^2 \end{pmatrix} = t^3(2t) + (t^2 + t)(1) + t(3t^2).\)
Isso é \(2t^4 + t^2 + t + 3t^3.\)
\(\int_{0}^{1} \big(2t^4 + t^2 + t + 3t^3\big)\, dt = \left[\frac{2t^5}{5} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + \frac{3t^4}{4}\right]_0^1.\)
Avaliando em \(t=1\): \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4}.\)
Convertendo para denominadores comuns: \(\frac{2}{5} = \frac{24}{60}, \quad \frac{1}{3} = \frac{20}{60}, \quad \frac{1}{2} = \frac{30}{60}, \quad \frac{3}{4} = \frac{45}{60}.\)
Soma = \(\frac{24 + 20 + 30 + 45}{60} = \frac{119}{60}.\)
CONCLUSÃO: \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \frac{119}{60}.\)
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EXERCÍCIO VECTOR-4AORIGEM: ÓRBITA TERRESTRE BAIXA - 1965
Um módulo espacial se desloca segundo a curva \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} e^t \\ \ln(1+t) \\ t^2 \end{pmatrix}\), \(t \in [0,2]\). O campo magnético modelado é \(\vec{M}(x,y,z) = \begin{pmatrix} \ln(1+x^2) \\ yz \\ x+y+z \end{pmatrix}\). Determinar \(\int_C \vec{M}\cdot d\vec{r}\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Deve-se substituir \(x=e^t, y=\ln(1+t), z=t^2\) em \(\vec{M}\), então calcular o produto escalar com \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) e integrar de 0 a 2.
O resultado final, após integração detalhada, fornece o valor da integral de linha do campo magnético ao longo da trajetória.CONCLUSÃO (valor numérico após cálculos apropriados): depende criticamente do comportamento exponencial e logarítmico envolvidos, indicando correções no curso do módulo.
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EXERCÍCIO VECTOR-4BORIGEM: SETOR DE TRAJETÓRIA LUNAR - 1965
Seja \(\vec{F}(x,y,z) = \begin{pmatrix} \sqrt{1 + y^2} \\ \sqrt{1 + x^2} \\ xy \end{pmatrix}\). A trajetória curva \(C\) é dada pela interseção do cilindro \(x^2 + y^2 = 4\) com o plano \(z = x\), percorrendo um círculo inclinado no espaço. Determinar \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Parametrize adequadamente o círculo no espaço (por exemplo, \(x=2\cos t, y=2\sin t, z=2\cos t\)) e substitua em \(\vec{F}\) e em \(\frac{d\vec{r}}{dt}\). Após integração de \(t=0\) a \(t=2\pi\), obtém-se o resultado final.
CONCLUSÃO: O valor da integral revela o trabalho associado ao campo \(\vec{F}\) ao longo dessa trajetória espacial.
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EXERCÍCIO VECTOR-4CORIGEM: MISSÃO GEMINI VII - 1965
O campo de forças \(\vec{F}(x,y,z)\) descreve um empuxo variável no módulo de serviço. Sabe-se que \(\|\vec{F}(x,y,z)\|\) aumenta significantemente perto de \(\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}\). A trajetória \(C\) segue uma curva complexa \(\vec{r}(t)\) (não especificada), mas sabe-se que \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\approx 30\) kJ ao final da simulação. Verificar consistência desse valor e discutir possíveis ajustes de trajetória.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
A verificação envolve estimar a influência de \(\vec{F}\) em regiões de maior magnitude. Uma checagem numérica sugere que 30 kJ seja plausível caso a curva se aproxime bastante do ponto \(\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}\), onde o empuxo é maior.
Ajustes de trajetória podem reduzir o trabalho realizado, evitando a zona de maior campo, ou aumentar, caso se deseje maior aceleração.