SIGILOSO
DATA: 14 DE MARÇO DE 1974
LOCALIZAÇÃO: PLATAFORMA ORBITAL [██████]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO ASTRO-EULER

Em resposta à recente escalada na Corrida Espacial, nossa equipe de pesquisa se concentrou em novos métodos de integração no espaço de três dimensões.

Este dossiê apresenta o estudo de redução volumétrica via integrais triplas, com especial ênfase em técnicas de redução para integrais duplas aplicadas ao projeto ████████.
Este documento contém informações críticas sobre técnicas avançadas de cálculo. Qualquer divulgação não autorizada resultará em consequências irreversíveis.
REF: VX-4001-C NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-4 CÓPIAS EXISTENTES: 3 DE 5
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: REDUÇÃO A INTEGRAIS DUPLAS EM INTEGRAIS TRIPLAS

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\iiint_{V} f(x,y,z)\, dV = \iint_{D} \left(\int_{z=a(x,y)}^{z=b(x,y)} f(x,y,z)\,dz \right) dA\]

A redução de uma integral tripla a uma integral dupla ocorre quando a região de integração \(V\) pode ser descrita por limites superiores e inferiores em uma das variáveis, resultando em uma integração iterativa em duas dimensões. Na prática, define-se a base \(D\) no plano e ajustam-se os limites da terceira variável para cada ponto de \((x,y)\) em \(D\).

Em ambientes de microgravidade, a determinação do centro de massa de módulos espaciais utiliza métodos de integração em três dimensões. A aplicação de técnicas de redução a integrais duplas agiliza o cálculo de volumes cilíndricos e regiões irregulares, garantindo maior segurança em trajetórias orbitais.
NOTA HISTÓRICA: Durante a fase final do Programa Apollo (1961-1972), cálculos avançados de volumes pressurizados em módulos lunares exigiram novas abordagens matemáticas. O sucesso da missão ████ inspirou nossa equipe a desenvolver métodos de redução de integrais triplas, antecipando melhorias essenciais para o projeto Skylab (1973-1979).
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Análise de Volume Simplificado - Laboratório de Testes [MAR/1974]

    Considere o volume \(V\) abaixo do plano \(z = 4\) e acima da região \(D\) no plano \(xy\), onde \(D\) é limitado pelo retângulo \(0 \le x \le 2\), \(0 \le y \le 3\). Reduza a integral tripla \[\iiint_V 1 \, dV\] a uma integral dupla e calcule o volume.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar limites superiores e inferiores para \(z\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    O volume pode ser descrito por \(0 \le x \le 2\), \(0 \le y \le 3\) e \(0 \le z \le 4\).

    Redução para integral dupla:

    \[\iiint_V 1\, dV = \iint_D \left(\int_{z=0}^{z=4} 1\, dz \right)dA.\]

    Integração interna em \(z\): \(\int_{0}^{4} 1 \, dz = 4.\)

    Assim, \[\iint_D 4 \, dA = 4 \times \text{Área de }D = 4 \times (2 \times 3) = 24.\]

    Conclusão: O volume buscado é \(24\) unidades cúbicas.

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Simulação de Tanque Orbital - Setor de Propulsão

    Seja \(V\) o volume limitado acima pelo cone \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) e abaixo pelo plano \(z=0\) na região \(D\). Considere \(D\) o círculo \(x^2 + y^2 \le 4\). Escreva a integral tripla de \(\iiint_V x\, dV\) reduzindo-a a uma integral dupla.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Pense em coordenadas adequadas para \(D\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Para cada ponto \((x,y)\) em \(D\), \(z\) varia de \(0\) a \(\sqrt{x^2 + y^2}\).

    Portanto: \[ \iiint_V x \, dV = \iint_D \left(\int_{z=0}^{z=\sqrt{x^2 + y^2}} x \, dz\right) dA. \]

    Integração interna: \(\int_{0}^{\sqrt{x^2 + y^2}} x \, dz = x \cdot \sqrt{x^2 + y^2}.\)

    Logo, a integral reduzida é: \[ \iint_D x \sqrt{x^2 + y^2} \, dA, \quad \text{onde } D: x^2 + y^2 \le 4. \]

    O problema se torna mais simples em coordenadas polares, mas a solicitação era apenas expressar a redução em forma de dupla integral.

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Cálculo Rápido de Massa - Módulo de Acoplagem

    O módulo cilíndrico possui densidade constante \(\rho=2\). O raio da base é \(3\) e a altura é \(5\). Usando a descrição no espaço com \(z\) variando de \(0\) a \(5\) e \((x,y)\) no disco de raio \(3\), reduza a integral tripla para uma dupla integral para encontrar a massa total: \(\iiint_V 2\, dV\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere a altura constante e o disco no plano.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Região \(V\): \(0 \le z \le 5\), \(x^2 + y^2 \le 9\).

    Integral tripla: \[ \iiint_V 2\, dV = \iint_D \left(\int_{z=0}^{5} 2 \, dz \right) dA. \]

    Integração em \(z\): \(\int_{0}^{5} 2 \, dz = 10.\)

    Assim, \(\iint_D 10 \, dA = 10 \cdot \text{Área do disco} = 10 \times \pi \cdot 3^2 = 90\pi.\)

    Massa total = \(90\pi\) unidades de massa.

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Departamento de Geometria - Centro de Controle

    Calcular \(\iiint_V (x^2 + y^2)\, dV\) onde \(V\) é o sólido limitado pelo paraboloide \(z = x^2 + y^2\) e pelo plano \(z = 9\). Reduza a integral tripla a uma integral dupla no domínio projetado sobre o plano \(xy\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de simetria podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Interseção: \(z = 9 = x^2 + y^2\) implica \(x^2 + y^2 = 9\).

    Portanto, \(V\) é limitado no \(xy\)-plano pelo círculo \(x^2 + y^2 \le 9\) e \(0 \le z \le 9 - (x^2 + y^2)\).

    A integral tripla: \[ \iiint_V (x^2 + y^2)\, dV = \iint_D \left( \int_{z=0}^{9 - (x^2 + y^2)} (x^2 + y^2)\, dz \right) dA. \]

    Integração em \(z\): \(\int_{0}^{9 - (x^2 + y^2)} (x^2 + y^2) \, dz = (x^2 + y^2) \bigl[\,z