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EXERCÍCIO VECTOR-1AORIGEM: Módulo de Reentrada - Análise de Volume [REGISTROS SIGMA-1]
Calcular o volume interno de um cone cuja base circular está no plano \(z=0\), de raio \(R=2\) m e altura \(H=4\) m. Utilize coordenadas cilíndricas para efetuar a integral tripla e confirme que o valor previsto está de acordo com o modelo de projeto.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar o fator \(r\) no cálculo e o limite superior para \(z\).RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:
A superfície do cone pode ser descrita por \(z = 4 - 2r\) para \(0 \leq r \leq 2\).
\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2r} r \, dz \, dr \, d\theta. \]
Integra-se em \(z\) de \(0\) até \(4 - 2r\), depois em \(r\) de \(0\) até \(2\), e por fim em \(\theta\) de \(0\) até \(2\pi\).
O resultado final deve ser \(\frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2)^2 (4) = \frac{16\pi}{3}\).
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EXERCÍCIO VECTOR-1BORIGEM: Cápsula Pressurizada - Cálculo de Espaço Interno
Determinar o volume de uma semiesfera de raio \(3\) m, utilizando coordenadas esféricas. A região corresponde a \(\rho\) variando de \(0\) até \(3\), com \(\phi\) de \(0\) até \(\frac{\pi}{2}\), e \(\theta\) de \(0\) até \(2\pi\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Lembre-se de considerar o termo \(\rho^2 \sin(\phi)\) na integração.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
EM COORDENADAS ESFÉRICAS, O ELEMENTO DE VOLUME É \(\rho^2 \sin(\phi)\).
\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin(\phi)\, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]
O volume da semiesfera deve resultar em \(\frac{2}{3}\pi (3)^3 = 18\pi\).
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EXERCÍCIO VECTOR-1CORIGEM: Seção de Controle Térmico [ARQUIVO INTERNO - MISSÃO GEMINI]
Calcular a massa de um cilindro circular reto, de raio \(1\) m e altura \(5\) m, cuja densidade é constante e igual a \(\delta = 800\) kg/m³. Use coordenadas cilíndricas para a integral tripla e avaliar a plausibilidade das leituras fornecidas pelo módulo.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Integre o fator \(\delta\,r\) corretamente.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
FÓRMULA DA MASSA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS: \(\iiint \delta \, dV\).
\[ M = \delta \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{5} r \, dz \, dr \, d\theta \]
Resultado: \(\delta \cdot (2\pi) \cdot \left(\frac{1^2}{2}\right) \cdot 5 = 800 \times 2\pi \times \frac{1}{2} \times 5 = 800 \times 5\pi = 4000\pi \text{ kg}\).
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EXERCÍCIO VECTOR-2AORIGEM: Análise Estrutural de Tanques - [SETOR [REDACTED]]
Um reservatório em formato de esfera oca possui raio interno \(2\) m e raio externo \(3\) m. Calcular o volume da casca esférica utilizando coordenadas esféricas, comparando com o relatório anterior.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de diferenças de volumes podem ser relevantes.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
VOLUME EXTERNO MENOS VOLUME INTERNO: \(\frac{4}{3}\pi (3^3) - \frac{4}{3}\pi (2^3) = \frac{4}{3}\pi (27 - 8) = \frac{76\pi}{3}\).
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EXERCÍCIO VECTOR-2BORIGEM: Seção de Propulsão - Inquérito sobre Câmaras Combustíveis
Uma câmara de combustão em formato de paraboloide de revolução é descrita por \(z = r^2\), para \(0 \leq z \leq 4\). Usar coordenadas cilíndricas para estimar o volume do sólido, identificando se a capacidade está dentro dos padrões.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de superfícies de revolução podem auxiliar.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
LIMITES: De \(z=0\) até \(z=4\), e em cilíndricas temos \(z=r^2\). Assim, quando \(z=4\), \(r=2\).
\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{r^2} r \, dz \, dr \, d\theta. \]
A integração resulta em \(\frac{1}{2}\pi(2^4) = 8\pi\).
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EXERCÍCIO VECTOR-2CORIGEM: Centro de Gravidade - Módulo Avançado
Determinar a massa de um sólido delimitado por \(\rho\) de \(1\) a \(2\), \(\phi\) de \(0\) a \(\frac{\pi}{3}\), e \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\), sabendo que a densidade \(\delta(\rho,\phi) = 200\,\rho\). Use coordenadas esféricas e verifique se a estimativa de carga está correta.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Considere se a densidade variável afeta diretamente o termo \(\rho^2 \sin(\phi)\).RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
EM COORDENADAS ESFÉRICAS: \(\,dV = \rho^2 \sin(\phi)\, d\rho\, d\phi\, d\theta\).
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1}^{2} 200\,\rho \cdot \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]
Integra-se \(\rho^3\) de \(1\) a \(2\) e \(\sin(\phi)\) de \(0\) a \(\frac{\pi}{3}\). O resultado numérico final será fornecido após avaliação, confirmando a consistência com padrões de massa do módulo.
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EXERCÍCIO VECTOR-3AORIGEM: Observatório Orbital - Relatório de Densidade de Plasma
Em uma região modelada por coordenadas esféricas, o plasma apresenta densidade variável \(\delta(\rho,\phi,\theta)=\alpha\, \rho^2 \sin(\phi)\). Supondo \(\rho\) de \(0\) a \(3\), \(\phi\) de \(0\) a \(\pi\), e \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\), justifique se a massa total do plasma (via integral tripla) teria valor finito ou não, levando em conta possíveis divergências.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias não aparentes no sistema.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
O elemento de volume em esféricas já inclui \(\rho^2 \sin(\phi)\). Multiplicar por outra \(\rho^2 \sin(\phi)\) pode suscitar questões de convergência na fronteira de integração. Entretanto, no intervalo \(\rho=0\) a \(3\), a integral permanece finita, pois não há singularidade em \(\rho=0\).
Conclusão: a massa total é finita, embora mais complexa.
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EXERCÍCIO VECTOR-3BORIGEM: Programa Apollo - Análise de Combustível Residuário
Calcular o volume da região limitada pelo cilindro \(r=2\) e pelo cone \(z = 2r\), com \(z\ge 0\). Utilize coordenadas cilíndricas e discuta possíveis aplicações para tanques simulados.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias não aparentes no sólido formado.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
LIMITE: \(r\) de \(0\) a \(2\). Para cada \(r\), \(z\) varia de \(0\) até \(2r\). E \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\).
\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2r} r \, dz \, dr \, d\theta. \]
O resultado numérico é \(\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (2r^2)\, dr\, d\theta = 2\pi \times \frac{16}{3} = \frac{32\pi}{3}\).
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EXERCÍCIO VECTOR-3CORIGEM: Comissão de Observação Lunar [OPERAÇÃO SIGILOSA]
Em um modelo tridimensional aproximado da superfície lunar, considerar uma calota esférica de ângulo sólido \(\phi\) de \(0\) até \(\frac{\pi}{4}\), com \(\rho\) de \(0\) até \(1737\) km (raio lunar). Investigar se a área projetada no plano \(\theta\)-\(\phi\) representa \span class="censored">valor estratégico.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem invariantes relevantes sob operações específicas.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Deve-se analisar o volume da calota e a área esférica correspondente. A integral tripla poderia fornecer a estimativa de massa, caso houvesse densidade variável. Observa-se que \(\phi = \frac{\pi}{4}\) limita uma fração notável da superfície.
Conclusão: a área projetada guarda correlação direta com estratégias de pouso e coleta de dados.
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EXERCÍCIO VECTOR-4AORIGEM: Missão Apollo - Configuração de Módulo Lunar [DADOS ULTRA]
Determinar a massa de um sólido definido por \(\rho\) entre \(2\) e \(4\), \(\phi\) entre \(0\) e \(\frac{\pi}{2}\), e \(\theta\) entre \(0\) e \(\pi\), considerando densidade \(\delta(\rho,\phi,\theta)\) arbitrária mas contínua e não-nula no domínio. Interpretar a aplicabilidade no ensaio de pouso.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
O cálculo envolve a integral tripla em coordenadas esféricas, avaliando cuidadosamente limites parciais em \(\rho\) e \(\theta\). A ausência de singularidades no interior do domínio indica convergência garantida.
Conclusão: o valor exato depende da forma da função \(\delta\), mas o método de integração por esféricas é adequado à região.
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EXERCÍCIO VECTOR-4BORIGEM: Projeto Secreto de Transporte - Análise Final
Investigar o volume do sólido que satisfaz \(r \le 3\) e \(z \ge \sqrt{r}\), em coordenadas cilíndricas, considerando \(\theta\) de \(0\) até \(2\pi\). Avaliar a compatibilidade com estrutura modular planejada em ████.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
O limite \(z \ge \sqrt{r}\) implica \(z^2 \ge r\). Usar integrais apropriadas para quantificar o volume, definindo limites superiores para \(z\). A verificação numérica mostrará se a arquitetura prevista atende aos critérios de volume.
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EXERCÍCIO VECTOR-4CORIGEM: Laboratório Orbital Skylab - Estudo de Grandes Estruturas
Uma grande estrutura cilíndrica, de altura variável, é descrita por \(z = 8 - r^2\), para \(0 \le z \le 8\). Determinar a massa se a densidade for uma função complexa \(\delta(r,z)\), sem simplificações. Sugerir procedimento para a otimização do design.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
A forma geral da massa: \(\iiint \delta(r,z)\, dV\) em coordenadas cilíndricas \((r,\theta,z)\). Implica integrar \(\delta(r,z)\,r\) ao longo de \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\), \(r\) de \(0\) a \(\sqrt{8}\), e \(z\) de \(0\) a \(8 - r^2\).
Conclusão: A necessidade de integração simbólica ou numérica deve ser avaliada conforme a função \(\delta(r,z)\).