A função \(f(x,y,z) = x+y+z\) é contínua no cubo. Logo, as condições de integrabilidade são satisfeitas.

Para o cálculo: \[\iiint_{D} (x + y + z)\, dV,\quad D=[0,2]\times[0,2]\times[0,2].\]

Integração passo a passo: \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (x + y + z)\, dx\, dy\, dz. \]

A resolução conduz a \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \left[\frac{x^2}{2} + xy + xz\right]_{x=0}^{2}\, dy\, dz \] e, procedendo, obtemos o valor final \(\boxed{24}\).

Se \(\rho\) é limitada, então existe \(M>0\) tal que \(|\rho(x,y,z)| \le M\) em todo o domínio tridimensional.

Além disso, sendo contínua ou apresentando apenas um conjunto de possíveis descontinuidades de medida nula, as condições de integrabilidade permanecem válidas.

Como \(D\) é limitado, o volume total de integração é finito, assegurando que \(\left|\iiint_{D} \rho(x,y,z)\, dV\right|\) seja finito.

Conclusão: A soma (integral tripla) da densidade ao longo do domínio resulta em valor finito, condizente com o cálculo balístico do módulo de reentrada.

A função \(e^{-x^2-y^2-z^2}\) é contínua e limitada em todo \(\mathbb{R}^3\). Em particular, dentro do cubo \([-2,2]^3\), não há pontos de descontinuidade.

Portanto, as condições de integrabilidade são atendidas no referido domínio. Uma vez que \(D\) é limitado, a integral tripla é finita.

A relevância prática está na estimativa de concentração de gases dentro do módulo, garantindo segurança ao programa Apollo.

No interior da esfera de raio 2, a função \(h(x,y,z)=\frac{1}{1 + x^2 + y^2 + z^2}\) é contínua e não apresenta singularidades. Portanto, a integrabilidade é garantida.

A ausência de pontos de descontinuidade ou termos que tornem o denominador nulo assegura que a integral tripla existe e é finita nesse volume esférico.

A função \(\ln(1 + x + y + z)\) apresenta continuidade em qualquer domínio onde \(1 + x + y + z > 0\). No conjunto em questão (\(x,y,z \ge 0\)), temos \(x+y+z \le 5\), de modo que \(1 + x + y + z\) está sempre entre 1 e 6, sem se anular.

Portanto, não há descontinuidades ou indeterminações. Além disso, o domínio é limitado e a função é finita em seu interior, cumprindo as condições de integrabilidade.

A integral tripla resultante fornecerá um indicador energético relevante para avaliação térmica do sistema de propulsão.

No domínio especificado, temos \(x \ge 0\), \(y \ge 0\) e portanto \(x + y + 1 \ge 1\). Isto impede que \(\pi(x+y+1)\) seja zero.

As funções \(\sin(\pi x)\), \(\sin(\pi y)\) e \(\sin(\pi z)\) também não introduzem descontinuidades no intervalo fornecido, pois são contínuas em \(\mathbb{R}\).

Assim, a função não apresenta descontinuidades ou singularidades na região. Conclusão: As condições de integrabilidade são satisfeitas.

A função é contínua em quase todos os pontos de \(D\), mas o ponto \((0,0,0)\) requer atenção: por construção, \(u(0,0,0)=0\). Graças à definição, o limite de \(\sin\bigl(\frac{1}{r^2}\bigr)\) quando \(r\to 0\) é mantido em \(0\) pela escolha conveniente de valor.

Assim, \(\sin\bigl(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\bigr)\) não cria descontinuidade no centro, pois foi explicitamente definida para ser 0 nesse ponto. Logo, a função é limitada e contínua em todo \(D\).

Conclusão: As condições de integrabilidade são satisfeitas no volume esférico de raio 2.

Em coordenadas esféricas, a função se torna aproximadamente \(\frac{1}{r}\). O volume infinitesimal é proporcional a \(r^2\, dr\). Assim, ao integrar \(\frac{1}{r}\cdot r^2\) em \(r\), a integral se comporta como \(\int r\, dr\), que converge para \(r\le3\).

No ponto \((0,0,0)\), foi atribuído o valor 100, mas isso não afeta a integrabilidade, pois é um único ponto (conjunto de medida nula).

Portanto, a função é integrável no volume esférico e não há divergência na vizinhança de \(r=0\).

A função \(\Phi\) é suave (infinitamente diferenciável) em \(\mathbb{R}^3\) e não apresenta singularidades reais, pois \(1 + x^2 + y^2 + z^2 \neq 0\).

Mesmo próximo à origem, a função mantém valor finito. Em qualquer volume limitado, \(\Phi\) é limitada e contínua, garantindo a integrabilidade.

Conclusão: O potencial resultante pode ser integrado sem problemas de convergência no modelo orbital analisado.

\(M\) é contínua em \(\{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 + z^2 \le \sqrt{5}\}\) e zero fora desse raio, logo limitada e sem descontinuidades.

A região de integração é uma esfera de raio \(\sqrt{5}\). Para \(r^2 \le 5\), \(M= 5 - r^2\). A integral em coordenadas esféricas: \[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}} \bigl(5 - r^2\bigr)\, r^2 \sin\phi\, dr\, d\phi\, d\theta. \]

O resultado numérico (após a computação passo a passo) conduz ao valor exato: \[ \boxed{\frac{500\pi}{3}}. \]

Conclusão: o valor total de massa/volume associado é finito.

A função é indefinida apenas na linha onde \(y=0\) e \(x\neq 0\). Entretanto, o valor foi definido como 0 explicitamente nessa linha, evitando descontinuidade.

Em \([-1,1]\times[-1,1]\times[0,2]\), \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) é limitada e não introduz singularidades de grande ordem (não há divisão por zero para pontos fora de \(y=0\), e no próprio \(y=0\) foi atribuída continuidade).

Conclusão: A integrabilidade é garantida no bloco, pois não há conjunto significativo de descontinuidade.

Em \([-1,1]^3\), a expressão \(2 + x^2 + z^4\) permanece acima de 1, evitando possíveis problemas no logaritmo.

A parte \(1 + y^4\) nunca se anula, mantendo a fração \(\frac{\ln(\dots)}{1 + y^4}\) livre de singularidades.

Consequentemente, \(\Gamma\) é limitada e contínua em todo o cubo \([-1,1]^3\). Logo, a integral tripla é finita e bem-definida.