Para densidade constante, o centro de massa de um bloco retangular está em seu centro geométrico:

\[ x_C = \frac{2}{2} = 1, \quad y_C = \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad z_C = \frac{3}{2} = 1{,}5. \]

\[ \vec{R}_C = \begin{pmatrix}1 \\ 0{,}5 \\ 1{,}5\end{pmatrix}. \]

Conclusão: O centro de massa está situado no ponto acima, corroborando a distribuição uniforme de densidade.

Massa total (esfera de raio 3, densidade constante):

\[ M = \iiint_V \rho\,dV = 2 \cdot \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 2 \cdot 36\pi = 72\pi. \]

Centro de massa, dada a simetria esférica, situa-se na origem: \(\vec{R}_C = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\).

Volume do cilindro: \( \pi \cdot 1^2 \cdot 4 = 4\pi\). Densidade constante:

\[ M = 3 \cdot 4\pi = 12\pi. \]

Centro de massa em \(z\) fica no meio do comprimento: \(z_C = \frac{4}{2} = 2.\)

Portanto, \(\vec{R}_C = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\).

Em coordenadas cilíndricas: \(r = z+1\), \(\theta\) de 0 a \(2\pi\), \(z\) de 0 a 2.

A densidade é \(\rho = 2(z+1)\). O volume elementar: \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\).

\[ M = \int_{z=0}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{z+1} 2(z+1)\, r \, dr\, d\theta\, dz. \]

Integração em \(r\): \(\int_{0}^{z+1} 2(z+1)r\,dr = 2(z+1)\cdot \frac{(z+1)^2}{2} = (z+1)^3.\)

Depois em \(\theta\): \(\int_{0}^{2\pi} (z+1)^3 \,d\theta = 2\pi (z+1)^3.\)

Finalmente em \(z\): \(\int_{0}^{2} 2\pi (z+1)^3 \, dz = 2\pi \left[\frac{(z+1)^4}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2\pi}{4} \left[(3)^4 - (1)^4\right] = \frac{\pi}{2}\left[81 - 1\right] = \frac{\pi}{2} \cdot 80 = 40\pi.\)

Conclusão: \(M = 40\pi.\)

Em coordenadas cilíndricas: \(r \le \frac{z}{3}\), \(\theta\) de 0 a \(2\pi\), \(z\) de 0 a 3.

A densidade: \(\rho = 4z\). O elemento de volume: \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\).

Coordenadas do centro de massa: \[ x_C = 0, \quad y_C = 0, \quad z_C = \frac{1}{M} \iiint_V z \cdot \rho \, dV, \] pois a simetria anula \(x_C\) e \(y_C\).

Primeiro, calculamos a massa: \[ M = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{z}{3}} 4z \, r \, dr\, d\theta\, dz. \]

Integração em \(r\): \(\int_{0}^{\frac{z}{3}} 4z \, r \, dr = 4z \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{z}{3}\right)^2 = 2z \cdot \frac{z^2}{9} = \frac{2z^3}{9}.

Em \(\theta\): \(\int_{0}^{2\pi} \frac{2z^3}{9} \, d\theta = \frac{2z^3}{9} \cdot 2\pi = \frac{4\pi z^3}{9}.\)

Em \(z\): \(\int_{0}^{3} \frac{4\pi z^3}{9}\,dz = \frac{4\pi}{9} \left[\frac{z^4}{4}\right]_{0}^{3} = \frac{4\pi}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{324\pi}{36} = 9\pi.

Portanto, \(M = 9\pi.\)

Agora, para \(z_C\): \[ z_C = \frac{1}{9\pi} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{z}{3}} z \cdot (4z) \, r\,dr\, d\theta \, dz = \frac{1}{9\pi} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{z}{3}} 4z^2 \, r\,dr\, d\theta \, dz. \]

Repetindo o processo: \(\int_{0}^{\frac{z}{3}} 4z^2 \,r\,dr = 4z^2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{z}{3}\right)^2 = 2z^2 \cdot \frac{z^2}{9} = \frac{2z^4}{9}.\)

Em \(\theta\): \(\int_{0}^{2\pi} \frac{2z^4}{9}\,d\theta = \frac{2z^4}{9}\cdot 2\pi = \frac{4\pi z^4}{9}.\)

Em \(z\): \(\int_{0}^{3} \frac{4\pi z^4}{9} \, dz = \frac{4\pi}{9}\left[\frac{z^5}{5}\right]_{0}^{3} = \frac{4\pi}{9} \cdot \frac{243}{5} = \frac{972\pi}{45} = \frac{972\pi}{45}.

Simplificando: \(\frac{972}{45} = \frac{972}{45} = 21.6.\) Então o valor integral é \(21.6\pi\).

Logo, \[ z_C = \frac{21.6\pi}{9\pi} = 2.4. \]

Conclusão: \(\vec{R}_C = \begin{pmatrix}0\\0\\2.4\end{pmatrix}\).

Massa de \(V_1\): \(M_1 = 2 \times 1^3 = 2.\)
Centro de massa de \(V_1\): \(\begin{pmatrix}0.5 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}\).

Massa de \(V_2\): \(M_2 = 6 \times 1^3 = 6.\)
Centro de massa de \(V_2\): \(\begin{pmatrix}1.5 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}\).

Massa total: \(M = M_1 + M_2 = 8.\)

Centro de massa total: \[ \vec{R}_C = \frac{M_1 \vec{R}_{C1} + M_2 \vec{R}_{C2}}{M} = \frac{2 \begin{pmatrix}0.5 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix}1.5 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}}{8}. \]

Soma vetorial: \(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}.\)

Dividindo por 8: \(\begin{pmatrix}1.25 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}.\)

Conclusão: \(\vec{R}_C = \begin{pmatrix}1.25 \\ 0.5 \\ 0.5\end{pmatrix}.\)

O momento de inércia de uma esfera oca (ou casca esférica espessa) em torno de qualquer eixo que passe pelo centro utiliza a expressão:

\[ I_z = \iiint_V \rho(x^2 + y^2) \, dV. \]

Em coordenadas esféricas, \((x^2 + y^2) = r^2\sin^2\phi\), e o volume está entre \(r=1.5\) e \(r=2\). O fator de volume é \(dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta\).

A integral resultante é resolvida via tabela ou resultado padrão, mas seria:

\[ I_z = \rho \int_{r=1.5}^{2} \int_{\phi=0}^{\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi} r^2 \sin^2\phi \, r^2 \sin\phi \, d\theta \, d\phi \, dr. \]

Fatores: \(\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi\), e \(\int_{0}^{\pi}\sin^3\phi\,d\phi = \frac{4}{3}\). Após a integração em \(r\), obtém-se a diferença entre \(\frac{r^5}{5}\) avaliada em 1.5 e 2.

Resultado simplificado (omisso em detalhes numéricos nesta breve síntese): \[ I_z = \rho \cdot \frac{8\pi}{15} \bigl(2^5 - 1.5^5\bigr). \]

Conclusão: O momento de inércia depende diretamente da densidade \(\rho\); valores exatos podem ser computados substituindo os termos numéricos.

Em coordenadas cilíndricas: \(z = r^2\). O sólido varia de \(r=0\) até \(r=2\), pois \(4 = 2^2\). Então \(0 \le z \le 4\).

Momento de inércia em torno de \(z\): \[ I_z = \iiint_V \rho(x,y,z)(x^2 + y^2)\, dV. \] Em cilíndricas, \(x^2 + y^2 = r^2\), e \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\).

A densidade: \(\rho = 1 + \frac{z}{4}\). Mas \(z = r^2\). Logo, \(\rho = 1 + \frac{r^2}{4}\).

Integração: \[ I_z = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=r^2}^{4} \left(1 + \frac{r^2}{4}\right) r^2 \cdot r \,dz\,dr\,d\theta. \] Entretanto, observe que \(z\) vai apenas até \(r^2\), pois para cada \(r\), \(z\) se estende de 0 a \(r^2\). A forma exata da integral deve ser ajustada adequadamente (ou invertida a ordem de integração).

Usando a ordem mais natural: \(\theta: 0 \to 2\pi\), \(r: 0 \to 2\), \(z: 0 \to r^2\). Então: \[ I_z = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{r^2} \left(1 + \frac{r^2}{4}\right) r^2 \, r \, dz\, dr\, d\theta. \]

Integra em \(z\): fator \(\left(1 + \frac{r^2}{4}\right)r^3\) fica constante em \(z\). Então \(\int_{0}^{r^2} dz = r^2\).

Integra em \(r\) e \(\theta\): \[ I_z = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} \left(1 + \frac{r^2}{4}\right)r^3 \, r^2 \, dr. \] Notar que multiplicamos por \(r^2\) do limite em \(z\).

Simplificação: \[ = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} \left(1 + \frac{r^2}{4}\right)r^5 \, dr = 2\pi \int_{0}^{2} \left(r^5 + \frac{r^7}{4}\right) dr. \]

\[ \int_{0}^{2} r^5 \, dr = \left[\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{2} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}, \quad \int_{0}^{2} r^7 \, dr = \left[\frac{r^8}{8}\right]_{0}^{2} = \frac{256}{8} = 32. \]

Então \[ I_z = 2\pi \left(\frac{32}{3} + \frac{32}{4}\right) = 2\pi \left(\frac{32}{3} + 8\right) = 2\pi \left(\frac{32}{3} + \frac{24}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{56}{3} = \frac{112\pi}{3}. \]

Conclusão: \(I_z = \frac{112\pi}{3}\).

A densidade pode ser expressa como \(\rho(z) = 4 + 6 \cdot \frac{z}{3} = 4 + 2z.\)

Massa total: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=0}^{3} (4 + 2z)\,r\,dz\,dr\,d\theta. \]

Integra em \(z\): \(\int_{0}^{3} (4+2z)\,dz = [4z + z^2]_{0}^{3} = 12 + 9 = 21.\)

Em \(r\): \(\int_{0}^{2} r\,dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{2} = 2.\)

Em \(\theta\): \(\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.\)

Logo, \(M = 21 \cdot 2 \cdot 2\pi = 84\pi.\)

Para \(z_C\): \(\displaystyle z_C = \frac{1}{M} \iiint z\,\rho(z)\,dV.\) Em integral tripla: \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} z\,(4+2z)\,r \, dz\, dr\, d\theta. \]

Integra em \(z\): \(\int_{0}^{3} z(4+2z)\,dz = \int_{0}^{3} (4z + 2z^2)\,dz = [2z^2 + \tfrac{2z^3}{3}]_{0}^{3} = 2 \cdot 9 + \tfrac{2 \cdot 27}{3} = 18 + 18 = 36.

Em \(r\): \(\int_{0}^{2} r\,dr = 2.\)

Em \(\theta\): \(\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.\)

Produto total: \(36 \cdot 2 \cdot 2\pi = 144\pi.\)

Assim, \(\displaystyle z_C = \frac{144\pi}{84\pi} = \frac{144}{84} = \frac{12}{7} \approx 1.714.\)

Conclusão: \(\vec{R}_C = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \tfrac{12}{7}\end{pmatrix}.\)

Cada tetraedro i possui volume \(V_i\) e densidade \(\rho_i\) constantes. Calcular massa \(M_i = \rho_i V_i\) e centros de massa \(\vec{R}_{C_i}\) individuais. Em seguida:

\[ M = \sum_i M_i,\quad \vec{R}_C = \frac{1}{M} \sum_i M_i \,\vec{R}_{C_i}. \]

Conclusão: O resultado final depende dos valores específicos de \(\rho_i\), volumes e posicionamento de cada célula tetraédrica.

A forma toroidal pode ser parametrizada por integrais triplas em coordenadas adequadas (toroidais). O momento de inércia envolve \((x^2 + y^2)\) ou \((z^2 + \dots)\) dependendo do eixo escolhido.

Resultado geral (omisso em detalhes): \[ I_z = 2 \pi \rho \int_{r=R-a}^{R+a} \int_{\theta=0}^{2\pi} \dots \, d\theta \, dr, \] devendo considerar o círculo gerador e o raio de rotação.

Conclusão: O valor exato depende das dimensões \(a\) e \(R\), mas segue a fórmula clássica de toro para momentos de inércia conhecidos em tabelas.

O problema exige a variação volumétrica de \(\rho\) e a expressão de \((x^2 + z^2)\) ou \((y^2 + z^2)\), conforme o eixo escolhido. Integra-se em \(x,y,z\), considerando a faixa de \(\pm \tfrac{\Delta}{2}\) em cada coordenada e a forma de \(\rho\).

O resultado final é obtido via \[ I = \iiint_V \rho(x,y,z)\,(\dots)\, dV, \] inserindo \(\rho = \rho_0 + \alpha z\) e usando a simetria do cubo para simplificar termos lineares.

Conclusão: a contribuição adicional de \(\alpha z\) modifica a distribuição de massa e, por consequência, aumenta o momento de inércia em relação ao cubo de densidade constante.