SIGILOSO
DATA: 23 DE ABRIL DE 1966
LOCALIZAÇÃO: SEÇÃO DE CÁLCULOS AVANÇADOS GEMINI
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO PHOENIX‑Δ

Esta lista de revisão integra técnicas de mudança de variáveis às aplicações de massa e centro de massa. Cada exercício exige não apenas o cálculo, mas também reflexão sobre simetria, sentido físico e a conexão com áreas ou volumes familiares, preparando os cadetes para interpretar resultados em missões reais.
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REF: MV‑441‑RNÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑4CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: MUDANÇA DE VARIÁVEIS, MASSA E CENTRO DE MASSA

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ \iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \iint_S f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv \]

Para densidade \(\rho(x,y)\), a massa é \(m=\iint_R \rho\,dA\). Se a simetria de \(R\) permitir, o centro de massa muitas vezes cai sobre eixos ou pontos especiais, simplificando cálculos de momento.

CASO POLAR  \((x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta)\):
\[ dA = r\,dr\,d\theta \quad\text{e}\quad m=\int\!\int \rho(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta \]
Durante manobras de acoplamento, prever a posição do centro de massa — e sua variação com mudanças de carga — é vital para gasto mínimo de combustível em correções de atitude.
NOTA HISTÓRICA: A falha parcial no módulo 5 (1965) originou‑se de um cálculo equivocado do centro de massa após desprendimento de painéis. A comissão determinou treinamento compulsório em simetria e interpretação de resultados.
  1. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑1
    ORIGEM: Placa semicircular reforçada — ARQUIVO Λ‑12 (JAN/1965)

    Considere a lâmina semicircular de raio 2 (\(y\ge0\)) com densidade constante \(\rho=3\).
    a) Calcule a massa \(m\).
    b) Argumente pela simetria onde o centro de massa deve situar‑se.
    c) Verifique explicitamente \(\bar x,\bar y\) e confirme o item (b).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: O eixo \(y\) divide o setor em duas partes congruentes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

    Em polares: \(0\le r\le2,\;0\le\theta\le\pi\).

    \(m=3\int_0^{\pi}\int_0^2 r\,dr\,d\theta=6\pi\).

    Por simetria em \(x\), \(\bar x=0\). Para \(\bar y=\frac1m\int\int y\rho\,dA\) obtem‑se \(\bar y=\frac{4}{3\pi}\).

    Resultado confirma a previsão.

  2. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑2
    ORIGEM: Placa retangular assimétrica — BASE VOSTOK (ABR/1965)

    Uma placa \(0\le x\le2,\;0\le y\le3\) apresenta densidade \(\rho(x,y)=2+ky\).
    a) Determine \(m(k)\).
    b) Para que valor de \(k\) o centro de massa tem \(\bar y=1.5\) ?  Explique se o resultado faz sentido fisicamente.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe o comportamento linear da densidade em \(y\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

    \(m=\int_0^2\int_0^3(2+ky)\,dy\,dx=2\left[2y+\tfrac k2 y^2\right]_0^3=2(6+4.5k)=12+9k\).

    \(\bar y=\frac1m\int\int y(2+ky)\,dA=\frac{2\left[y^2+\frac{k}{3}y^3\right]_0^3}{m}=\frac{2(9+9k)}{m}=\frac{18(1+k)}{12+9k}\).

    Pede‑se \(\bar y=1.5\Rightarrow18(1+k)=1.5(12+9k)\Rightarrow18+18k=18+13.5k\Rightarrow4.5k=0\Rightarrow k=0\).

    Conclusão: densidade uniforme é a única que centraliza a massa em \(y=1.5\), coerente com a simetria vertical do retângulo.

  3. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑3
    ORIGEM: Blindagem elíptica — HANGAR Ω‑4 (JUL/1965)

    Lâmina elíptica \(\frac{x^2}{4}+y^2\le1\) com densidade \(\rho=1\).
    a) Utilize a transformação \(x=2u,\,y=v\) para calcular \(m\).
    b) Mostre que o momento em torno de \(x=0\) é nulo sem integrar explicitamente, citando simetria.
    c) Compare \(m\) com a área geométrica da elipse.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Simetria bilateral implica momentos nulos.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    Transformação leva a disco unitário com Jacobiano 2: \(m=2\pi\).

    Simetria em \(y\mapsto -y\) anula momento em relação ao eixo \(x\).

    A área da elipse é \(\pi ab=\pi(2)(1)=2\pi\), logo a densidade unitária torna \(m\) igual à área, coerente.

  4. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑4
    ORIGEM: Cone de Foguete — SEÇÃO Ξ‑7 (SET/1965)

    Coroa circular \(1\le r\le2\) com densidade \(\rho=r^2\).
    a) Calcule \(m\).
    b) Compare com o caso de densidade uniforme e discuta a interpretação física.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Avalie como o termo \(r^2\) afeta a distribuição de massa.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    \(m=\int_0^{2\pi}\int_1^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2=\frac{15\pi}{2}\).

    Uniforme (\(\rho=1\)) daria área \(3\pi\). O fato de \(\rho\propto r^2\) concentra massa na periferia, elevando o valor por fator 2.5.

  5. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑5
    ORIGEM: Placa parabólica — LAB Σ‑3 (NOV/1965)

    Região limitada por \(y=x^2\) e \(y=\sqrt{x}\) (\(0\le x\le1\)), densidade \(\rho=x+3y\).
    a) Calcule \(m\).
    b) Explicite por que não há simplificação de simetria.
    c) Discuta se o valor numérico (0.6) é plausível com base no tamanho da região e na ordem de grandeza de \(\rho\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Compare \(\rho_{\min}\) e \(\rho_{\max}\) na região.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    Cálculo completo reproduz \(m=0.6\).

    Sem simetria pois limites não são centrados; densidade não é par nem uniforme.

    Área \(\approx0.25\). Densidade média \(\sim2\Rightarrow m_{esperado}\sim0.5\). Resultado 0.6 é consistente.

  6. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑6
    ORIGEM: Missão APOLLO — Manobra de Reentrada (FEV/1966)

    Região no primeiro quadrante dentro do círculo raio 3 e acima da reta \(y=x-1\). Densidade \(\rho=5+e^{-x}\).
    a) Esboce "mentalmente" o domínio e explique por que não há simetria total.
    b) Calcule \(m\) (expressão integral final aceitável).
    c) Argumente sobre onde espera‑se que o centro de massa se desloque (mais perto ou mais longe do eixo \(y\)?).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Dividir domínio como feito anteriormente. A massa será maior perto de \(x=0\) devido ao termo exponencial; centro desloca‑se para a esquerda.

  7. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑7
    ORIGEM: Dinâmica Skylab (MAR/1966)

    Elipse \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}\le1\) setor \(y\ge x\), densidade \(\rho=e^{-x^2+y}\).
    a) Transforme para coordenadas circulares e escreva a integral.
    b) Discuta qualitativamente se a massa estará mais concentrada no setor superior ou inferior do domínio.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Integral apresentada na lista anterior. A dependência \(e^{y}\) eleva peso no topo do setor; distribuição não é uniforme.

  8. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑8
    ORIGEM: Torque Anômalo — SEÇÃO Θ‑9 (ABR/1966)

    Para \(R=\{0\le r\le2,\,\pi/6\le\theta\le5\pi/6\}\), avalie \(I=\iint_R r^2\cos(2\theta)\,dA\).
    a) Determine se o resultado é nulo usando simetria.
    b) Calcule explicitamente para confirmar.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Parte angular não cancela totalmente porque o setor não cobre ângulos simétricos. Resultado \(-2\sqrt3\) confirma torque líquido.

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MATERIAL ULTRASSECRETO