Em coordenadas polares, \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). A região \(R\) no primeiro quadrante implica \(0 \le r \le 2\) e \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\).

O Jacobiano resulta em \(\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| = r\).

Logo, \[ \iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(r\cos\theta + 2r\sin\theta\bigr)\, r\,dr\,d\theta. \]

Ao expandir, \[ \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2} r^2 \cos\theta + 2r^2 \sin\theta\, dr\,d\theta. \]

Resulta no valor numérico \(\int_{0}^{\pi/2} \bigl[\frac{r^3}{3}\cos\theta + \frac{2r^3}{3}\sin\theta\bigr]_0^2 \, d\theta\) = \(\int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{8}{3}\cos\theta + \frac{16}{3}\sin\theta\right) d\theta\).

Solucionando, \(\left[\frac{8}{3}\sin\theta - \frac{16}{3}\cos\theta \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{8}{3}\cdot 1 - \frac{16}{3}\cdot 0 - \left(0 - \frac{16}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} = 8.\)

CONCLUSÃO: O valor da integral é 8.

A Jacobiana da transformação é \(\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\) = 1, pois \[ x = u + 1,\quad y = v - 2 \implies \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Portanto, \[ \iint_{R} (3x - y)\,dx\,dy = \int_{v=1}^{3} \int_{u=0}^{2} \bigl(3(u+1) - (v-2)\bigr)\cdot 1\, du\, dv. \]

Expande-se em \(\int_{1}^{3}\int_{0}^{2} (3u + 3 - v + 2)\,du\,dv\) = \(\int_{1}^{3}\int_{0}^{2} (3u + 5 - v)\,du\,dv.\)

Primeiro em \(u\): \[ \int_{0}^{2} (3u + 5 - v)\,du = \left[\frac{3u^2}{2} + 5u - vu\right]_{0}^{2} = \left[\frac{3\cdot 4}{2} + 10 - 2v\right] - 0 = 6 + 10 - 2v = 16 - 2v. \]

Em seguida, integrando em \(v\) de 1 a 3: \[ \int_{1}^{3} (16 - 2v)\,dv = \left[16v - v^2\right]_{1}^{3} = (16\cdot 3 - 9) - (16\cdot 1 - 1) = (48 - 9) - (16 - 1) = 39 - 15 = 24. \]

CONCLUSÃO: O valor da integral é 24.

A transformação proposta: \(x=u,\;y=2v\). Então \(\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2.\)

A região \(0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 2\) torna-se \(0 \le u \le 1,\; 0 \le v \le 1\).

Assim, \[ \iint_{R} (x^2 + xy)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bigl(u^2 + u(2v)\bigr)\cdot 2\,du\,dv. \]

Simplificando, \[ 2 \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bigl(u^2 + 2uv\bigr)\,du\,dv = 2 \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1} (u^2 + 2uv)\,du\right] dv. \]

Integre em \(u\): \[ \int_{0}^{1} (u^2 + 2uv)\,du = \left[\frac{u^3}{3} + u^2v\right]_0^1 = \frac{1}{3} + v. \]

Agora, em \(v\) de 0 a 1: \[ 2 \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{3} + v\right)\,dv = 2 \left[\frac{v}{3} + \frac{v^2}{2}\right]_0^1 = 2 \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) = 2 \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}. \]

CONCLUSÃO: O valor da integral é \(\frac{5}{3}\).

Em polares, \(x^2 + y^2 = r^2\), e o Jacobiano é \(r\). A coroa circular \(1 \le r^2 \le 4\) implica \(1 \le r \le 2\) e \(0 \le \theta \le 2\pi\).

Portanto, \[ \iint_{R} e^{x^2+y^2}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} e^{r^2}\, r \,dr\, d\theta. \]

Integra-se primeiro em \(r\): \[ \int_{1}^{2} r\, e^{r^2}\,dr. \] Use substituição \(t = r^2\), \(dt = 2r\,dr\). Assim, \(\frac{1}{2}\int_{1}^{4} e^t\,dt = \frac{1}{2}\bigl[e^t\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(e^4 - e^1\bigr). \)

Em seguida, \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\bigl(e^4 - e^1\bigr)\, d\theta = \pi \bigl(e^4 - e\bigr). \]

CONCLUSÃO: O valor da integral é \(\pi (e^4 - e)\).

Para transformar a elipse em círculo unitário, definimos \[ x = 2u,\quad y = 3v. \] Então, a condição \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} \le 1\) torna-se \(u^2 + v^2 \le 1\).

O Jacobiano é \[ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6. \]

Logo, \[ \iint_{R} (4xy)\,dx\,dy = \iint_{u^2+v^2 \le 1} \bigl(4 \cdot (2u) \cdot (3v)\bigr)\, 6\, du\, dv. \]

Simplificando o integrando: \[ 4 \times 2u \times 3v = 24\,uv, \quad 24\,uv \times 6 = 144\,uv. \]

Assim, \[ \int_{u^2+v^2 \le 1} 144\,uv \;du\,dv. \] A região é o disco unitário. Observando a função \(uv\), é uma função ímpar em relação a \(u\) e \(v\) sobre um domínio simétrico (o círculo de raio 1).

Portanto, a integral de \(uv\) sobre a área simétrica é zero, e, consequentemente, \(\iint_{R} (4xy)\,dx\,dy = 0\).

CONCLUSÃO: O valor da integral é 0.

Uma forma de parametrizar é transformar a base do triângulo em uma faixa de \(u\) e a altura em \(v\). Por exemplo: \[ x = u, \quad y = v \cdot u, \] onde \(0 \le u \le 2\) e \(0 \le v \le 1\). Observe que quando \(v=1\), \(y=u\), coincidindo com a reta \(x=y\) no trecho entre \((0,0)\) e \((2,2)\).

O Jacobiano: \[ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ v & u \end{vmatrix} = (1)(u) - (0)(v) = u. \]

Assim, \[ \iint_{R} \ln\bigl(1 + x^2 + y^2\bigr)\,dx\,dy = \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1} \ln\bigl(1 + u^2 + (v u)^2\bigr)\,u\,dv\,du. \]

Temos: \[ \int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{1} u \ln\bigl(1 + u^2(1 + v^2)\bigr) \,dv\right] du. \] A integral exata em termos de funções elementares é complexa. Em geral, a solução pode envolver integrais especiais ou séries de expansão, dependendo do nível de detalhamento requerido.

Neste contexto, a parametrização cumpre o objetivo de facilitar a redução dimensional e organizar o cálculo, mas o resultado final provavelmente exigirá métodos numéricos ou aproximações especiais.

CONCLUSÃO: O formato integral final está corretamente estabelecido.

A transformação clássica: \[ x = 3u,\quad y = 4v,\quad \text{com }u^2 + v^2 \le 1. \] O Jacobiano é \(12\).

Logo, \[ \iint f(x,y)\,dx\,dy = \int_{u^2+v^2\le 1} \sin\bigl((3u)^2 + (4v)^2\bigr)\,12\,du\,dv. \]

Ou seja, \[ 12 \int_{u^2+v^2\le 1} \sin(9u^2 + 16v^2)\,du\,dv. \] Diferentemente de funções como \(uv\) ou polinômios ímpares, \(\sin(9u^2 + 16v^2)\) não se anula automaticamente por simetria.

Portanto, não há cancelamento global no disco unitário. O valor exato demanda avaliação especializada, mas a integral não é trivialmente zero.

CONCLUSÃO: Nenhuma anulação por simetria; integral depende de cálculo mais aprofundado.

Em polares, \(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\). Então \(xy = r^2\cos\theta\sin\theta = \frac{r^2}{2}\sin(2\theta)\).

A região \(1 \le r^2 \le 9\) se traduz em \(1 \le r \le 3\), com \(0 \le \theta \le 2\pi\).

Assim, \[ \iint_{R} \cos(xy)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} \cos\Bigl(\frac{r^2}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,r\,dr\,d\theta. \]

A dependência \(\sin(2\theta)\) complica a resolução, pois não há separabilidade trivial. Em geral, integrais deste tipo não se expressam em funções elementares simples.

CONCLUSÃO: A expressão integral está correta, mas seu resultado exige técnicas especiais (séries ou métodos numéricos), não havendo simplificação imediata em termos de funções elementares.

Podemos adotar \(u = x\) e \(v = \frac{y}{2x}\) (para \(x>0\)), de modo que quando \(y = 0\), \(v=0\), e quando \(y=2x\), \(v=1\). Além disso, \(0 \le x \le 2\) leva \(0 \le u \le 2\).

A Jacobiana, no entanto, requer cuidado: \[ x = u,\quad y = 2u\,v. \] \[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2v & 2u \end{vmatrix} = (1)(2u) - (0)(2v) = 2u. \]

Logo, \[ \iint_{R} \sqrt{1 + x^2 + y^2}\,dx\,dy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^2 + (2uv)^2}\,\bigl(2u\bigr)\, dv\,du. \]

A expressão interna resulta em \(\sqrt{1 + u^2 + 4u^2v^2}\). Novamente, a integral não parece conduzir a funções elementares triviais. Pode-se recorrer a expansões ou métodos numéricos para uma avaliação mais precisa.

CONCLUSÃO: A mudança de variáveis foi realizada com sucesso, mas a simplificação adicional exige técnicas avançadas.

[SUGESTÃO DE PROCEDIMENTO]: Avaliar primeiramente a porção de elipse onde \(y \ge x\). Uma possível transformação é escalonar a elipse para um círculo unitário e, em seguida, restringir ao setor definido pela reta transformada. Em geral, \[ x = 2r\cos\theta,\quad y = 2r\sin\theta, \] com o devido ajuste para \(\theta\) que mantenha \(y \ge x\), ou seja, \(\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\) em termos de todo o círculo, mas é preciso verificar a orientação do setor.

Na sequência, considerar \(\exp\bigl(-(2r\cos\theta)^2 + 2r\sin\theta\bigr)\) e o Jacobiano (que será \(4r\)), resultando numa integral potencialmente complexa. O resultado provavelmente exigirá métodos numéricos ou séries de potências.

CONCLUSÃO: Não há solução elementar simples. A definição correta da faixa de \(\theta\) e a verificação dos limites garantem a transformação adequada.

[SUGESTÃO DE PROCEDIMENTO]: Uma opção é fazer: \[ u = x, \quad v = y - x, \] transformando a região triangular acima da reta \(y=x\) em um conjunto de limites retangulares em \((u,v)\). Calcular o Jacobiano \(\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = 1\).

Então \(\sin(x+y) = \sin\bigl(u + (v + u)\bigr) = \sin(2u + v)\). Ajustar os limites de \(u\) e \(v\) adequadamente leva a uma integral aninhada, mas sem limites oblíquos.

CONCLUSÃO: Mudança de variáveis facilita a análise geométrica, apesar de não trivializar a função trigonométrica.

[SUGESTÃO DE PROCEDIMENTO]: Em polares, \(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\). Então \(x^2 - y^2 = r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r^2 \cos(2\theta)\).

A integral torna-se \[ \int_{\theta=\pi/6}^{5\pi/6}\int_{r=0}^{2} r^2 \cos(2\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos(2\theta)\, \left[\int_{0}^{2} r^3\,dr\right] d\theta. \] A parte de \(r\) rende \(\frac{2^4}{4} = 4\).

Logo, \[ 4 \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos(2\theta)\, d\theta = 4 \left[ \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = 2 \bigl(\sin\bigl(\frac{10\pi}{6}\bigr) - \sin\bigl(\frac{\pi}{3}\bigr)\bigr). \]

\(\sin\bigl(\frac{10\pi}{6}\bigr) = \sin\bigl(\frac{5\pi}{3}\bigr) = -\sin\bigl(\frac{\pi}{3}\bigr)\). Assim, a diferença torna-se \(-\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}\).

Portanto o valor é \(2 \times (-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}\).

CONCLUSÃO: O resultado não é zero. A assimetria no intervalo de \(\theta\) (de \(\pi/6\) a \(5\pi/6\)) impede o cancelamento total da função \(\cos(2\theta)\).