SIGILOSO
DATA: 17 DE SETEMBRO DE 1965
LOCALIZAÇÃO: BASE GEMINI ██████
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO FUBINI-X

Em consonância com os avanços recentes do Programa Gemini, nossa equipe de análise vetorial reúne, no presente documento, estudos detalhados sobre o Teorema de Fubini aplicado à avaliação de integrais duplas. Tais resultados fornecem subsídios cruciais para o planejamento de rendezvous orbitais e controle de trajetória.
Esta publicação contém informações técnicas classificadas de valor estratégico. A violação dos protocolos de sigilo poderá acarretar sanções irreversíveis.
REF: VX-2501-C NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-4 CÓPIAS EXISTENTES: 2 DE 5
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TEOREMA DE FUBINI

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ \iint_{D} f(x,y)\, dA = \int_{a}^{b} \left(\int_{c}^{d} f(x,y)\, dy\right) dx = \int_{c}^{d} \left(\int_{a}^{b} f(x,y)\, dx\right) dy \]

O Teorema de Fubini estabelece que, sob condições apropriadas de continuidade ou integrabilidade, a integral dupla de uma função \(f(x,y)\) sobre uma região \(D\) pode ser computada por meio de integrais iteradas, invertendo a ordem de integração conforme necessário. Tal resultado é fundamental na análise de problemas em duas dimensões, permitindo cálculos simplificados e verificações de consistência.

Aplicar o Teorema de Fubini às cargas termodinâmicas em componentes orbitais permite estimar pressões e temperaturas em placas de revestimento, garantindo a segurança das manobras durante missões espaciais. Esses métodos se mostraram essenciais para prever o comportamento de módulos pressurizados em ambientes extremos.
NOTA HISTÓRICA: Após os primeiros voos do Programa Mercury, as exigências técnicas para missões orbitais prolongadas se intensificaram. O Programa Gemini (1965-1966) trouxe novos desafios, exigindo métodos de cálculo mais robustos. O Teorema de Fubini foi empregado para avaliar distribuições de temperatura em superfícies de módulos espaciais, tornando-se parte do conjunto de técnicas consideradas prioritárias pelos engenheiros.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Análise Prévia de Setor Retangular - Relatório ALFA-01

    Calcular \(\iint_D (2x + 3y)\, dA\) onde \(D\) é o retângulo \(0 \le x \le 1\), \(0 \le y \le 2\). Use o Teorema de Fubini para determinar o valor exato da integral e interpretar seu significado em termos de \(x\) e \(y\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere a integração iterada primeiro em relação a y.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Aplicando Fubini em y primeiro:

    \[ \int_{x=0}^{1} \left(\int_{y=0}^{2} (2x + 3y)\, dy\right) dx. \]

    Integração em y:

    \[ \int_{0}^{2} (2x + 3y)\, dy = 2x \int_{0}^{2} dy + 3\int_{0}^{2} y\, dy \]

    \[ = 2x (2) + 3 \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 4x + 3 \cdot 2 = 4x + 6. \]

    Agora integrando em x:

    \[ \int_{0}^{1} (4x + 6)\, dx = \left[ 2x^2 + 6x \right]_0^1 = 2 + 6 = 8. \]

    Conclusão: O valor da integral é 8, interpretado como a soma acumulada de (2x + 3y) sobre o retângulo.

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Domínio por Interseção de Retas - Relatório ALFA-02

    Considere a região \(D\) definida pela interseção das retas \(x \ge 0\), \(y \ge 0\) e \(x + y \le 3\). Calcular \(\iint_D (x + 2y)\, dA\) usando o Teorema de Fubini e discutir a possibilidade de trocar a ordem de integração.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: O domínio é um triângulo; escolha limites em função de x ou y.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Descrição do domínio:

    \(0 \le x \le 3,\; 0 \le y \le 3 - x.\)

    Portanto, a integral pode ser escrita como:

    \[ \int_{x=0}^{3} \left(\int_{y=0}^{3-x} (x + 2y)\, dy\right) dx. \]

    Integração interna em y:

    \[ \int_{0}^{3-x} (x + 2y)\, dy = x\int_{0}^{3-x} dy + 2\int_{0}^{3-x} y\, dy. \]

    \[ = x(3 - x) + 2\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{3-x} = x(3 - x) + (3 - x)^2. \]

    \(x(3 - x) + (3 - x)^2 = 3x - x^2 + (9 - 6x + x^2) = 9 - 3x.\)

    Agora integramos em x:

    \[ \int_{0}^{3} (9 - 3x)\, dx = \left[ 9x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = (27 - \frac{3\cdot 9}{2}) - 0 = 27 - 13.5 = 13.5. \]

    Conclusão: O valor da integral é \(13.5\). Se trocarmos a ordem de integração, os limites devem ser reescritos adequadamente (em termos de y ou x), porém o resultado permanece o mesmo.

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Domínio Poligonal - Relatório ALFA-03

    Seja \(D\) a região delimitada pelas retas \(x=0\), \(y=1\), \(y=2x\) e \(x=2\). Calcular \(\iint_D (3 - xy)\, dA\) e verificar como o Teorema de Fubini assegura a mesma resposta independentemente da ordem de integração.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Identifique a forma de trapézio no plano e escolha a ordem de integração mais simples.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Ao desenhar as retas, nota-se que para cada \(x\) entre 0 e 2, \(y\) varia de \(y=1\) até \(y=2x\) (quando \(2x > 1\), isto é, \(x > 0.5\)). O domínio pode ser subdividido ou descrito via integração em duas partes.

    Alternativamente, inverter a ordem (integração em \(x\) ou \(y\) primeiro) leva a intervalos distintos, mas o resultado final permanece inalterado por Fubini.

    [Detalhes de cálculo podem ser desenvolvidos a partir da parametrização escolhida.]

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Análise de Domínio Curvo - Programa GEMINI

    Seja \(D\) a região definida por \(0 \le x \le 4\) e \(0 \le y \le \sqrt{x}\). Calcular \(\iint_D (x + 1)\, dA\) e discutir se a troca da ordem de integração simplifica a resolução.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de raízes podem ser exploradas, mas verifique se a inversão de eixos ajuda.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Em y primeiro: \( \int_{x=0}^{4} \left[\int_{y=0}^{\sqrt{x}} (x + 1)\, dy\right] dx. \)

    A expressão \(x+1\) é independente de y, resultando em \((x+1) \cdot (\sqrt{x} - 0)\) para a parte interna.

    \( \int_{0}^{4} (x+1)\sqrt{x}\, dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} (x + 1)\, dx. \)

    A resolução exige manipulação algébrica ou substituições. Se invertêssemos a ordem, y varia de 0 a 2, e x de y^2 a 4, podendo ou não simplificar.

    O Teorema de Fubini garante que qualquer que seja a escolha dos limites corretos, o valor final será o mesmo.

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Domínio Definido por Funções - Setor BETA-05

    Considerar \(D = \{(x,y) \mid 1 \le x \le 3,\; 0 \le y \le \ln(x)\}\). Calcular \(\iint_D \bigl(2 + e^y\bigr)\, dA\), avaliando primeiro em y e depois invertendo a ordem para checar a consistência.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades do logaritmo e do exponencial podem simplificar a discussão sobre limites.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Integração em y primeiro: \( \int_{x=1}^{3} \left[\int_{y=0}^{\ln(x)} (2 + e^y)\, dy\right] dx. \)

    \( = \int_{1}^{3} \left[ 2y + e^y \right]_{0}^{\ln(x)} dx = \int_{1}^{3} \left[ 2\ln(x) + x - 1 \right] dx. \)

    Ao integrar em x, obtemos a expressão final em função de \(\ln(x)\). Invertendo a ordem, descreve-se x em função de y: \(0 \le y \le \ln(3),\; e^y \le x \le 3\). A consistência é assegurada.

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Cálculos Orbitais - Programa BETA-06

    Analisar \(\iint_D (x^2 - y)\, dA\), onde \(D\) é definido por \( x + y \ge 2\), \(0 \le x \le 3\), \(0 \le y \le 4\). Montar os limites apropriados e verificar como o Teorema de Fubini permite a reordenação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Reescreva y \(\ge 2 - x\) ao definir os limites.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    A região corresponde a pontos acima da reta x+y=2, dentro do retângulo [0,3]x[0,4]. A descrição em x primeiro ou y primeiro requer atenção ao traçar o esboço.

    [Os passos de integração e simplificação são análogos aos exemplos anteriores, resultando em valor único, independentemente da ordem.]

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Domínio Circular - Análise GAMMA-1

    Seja \(D\) o disco \(x^2 + y^2 \le 4\). Calcular \(\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dA\) usando integrais iteradas em coordenadas cartesianas (sem polar). Comentar a dificuldade em estabelecer os limites e a aplicabilidade de Fubini.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias, mas a mudança para coordenadas polares não está disponível neste tópico.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Em Cartesianas: \( -2 \le x \le 2,\; -\sqrt{4 - x^2} \le y \le \sqrt{4 - x^2}. \)

    \( \iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dA = \int_{x=-2}^{2} \left[\int_{y=-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} e^{-(x^2 + y^2)} dy\right] dx. \)

    Embora a forma fechada seja complexa, o Teorema de Fubini garante a equivalência de qualquer forma de inteiração iterada.

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Conjunto Limitado por Curvas - Relatório GAMMA-2

    A região \(D\) é limitada por \(y = x^2\) e \(y = 4\). Avaliar \(\iint_D (xy)\, dA\), discutindo a possibilidade de dividir a região ou usar diretamente um único conjunto de limites.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: A curva \(y=x^2\) pode sugerir inversão de eixos.]
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Domínio em x: \(-2 \le x \le 2\), e para cada x, \(x^2 \le y \le 4\). A integral pode ser estruturada como

    \[ \int_{x=-2}^{2} \left(\int_{y=x^2}^{4} xy\, dy\right) dx. \]

    Alternativamente, descrevendo em y primeiro, temos \(0 \le y \le 4\), \(-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y}\). A aplicabilidade de Fubini se mantém.

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Ajustes Orbitais - Painel GAMMA-3

    Verificar \(\iint_D \ln(1 + x^2 + y^2)\, dA\) em que \(D\) é o retângulo \(-1 \le x \le 2\), \(-1 \le y \le 1\). Discutir a continuidade do integrando e o efeito de termos logarítmicos.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Não há singularidades em x^2+y^2>=0, mas note o comportamento para x negativo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    A função \(\ln(1 + x^2 + y^2)\) é contínua em toda a região e livre de singularidades, pois \(1 + x^2 + y^2 > 0\). Assim, Fubini garante a possibilidade de usar integrais iteradas invertidas.

    [A resolução analítica pode demandar técnicas avançadas, mas a existência da integral é assegurada.]

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Projeto OMEGA-1 - Investigação Sigilosa

    Analisar \(\iint_D (e^{xy} - y^2)\, dA\) onde \(D\) é delimitado pelos limites \(0 \le x \le 2\) e \(x \le y \le 3\). Justificar a aplicação do Teorema de Fubini e relatar se a inversão (integrar em x primeiro) traz simplificações.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    [Solução detalhada sobre os limites de y: y varia de x até 3, e x de 0 até 2. Nota-se que e^{xy} pode exigir atenção na troca de ordem.]

    Conclusão: O Teorema de Fubini assegura o valor único, embora a ordem escolhida possa ser mais ou menos conveniente.

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Missão Secreta OMEGA-2 - Cálculo Tenso

    Determinar \(\iint_D (x^3 - y^3)\, dA\) na região \(D = \{ (x,y) \mid -2 \le x \le 2, -2 \le y \le 2 \}\). Analisar como a simetria pode anular termos, justificando a coerência com o Teorema de Fubini.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    [Explicação sobre funções ímpares em regiões simétricas; Fubini garante a integral nula dos termos ímpares, desde que o domínio seja centrado na origem.]

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Inquérito ULTRA - Programa Reservado

    Calcular \(\iint_D \arctan(x + y)\, dA\), onde \(D\) é o trapézio definido pelos pontos \((0,0)\), \((2,0)\), \((1,1)\), \((0,1)\). Verificar se a segmentação em duas regiões facilita a identificação dos limites.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    [Estabelecimento de limites para x e y, possível divisão do trapézio para simplificar. Mesmo assim, a soma das integrais parciais deve conduzir ao resultado único, conforme Fubini.]

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