Documento Sigiloso - Soma de Riemann na Integral Dupla

EXERCÍCIO SR2-ALFA-1

ORIGEM: Laboratório de Cálculos Orbitais, Programa Apollo

Considere a região retangular \(D = [0,2] \times [0,3]\). Sejam \(m=2\) e \(n=3\) as subdivisões para uma soma de Riemann inicial. Calcule a soma de Riemann de \(\iint_D (x+2y)\, dA\) usando pontos amostrais no canto superior direito de cada sub-retângulo.

[SUGESTÃO]: Lembre-se de que \(\Delta x = \frac{2-0}{m}\) e \(\Delta y = \frac{3-0}{n}\).

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Dividindo o intervalo em \(m=2\) partes no eixo \(x\) e \(n=3\) partes no eixo \(y\), obtemos \(\Delta x = 1\) e \(\Delta y = 1\).

Pontos amostrais (canto superior direito) em cada sub-região: por exemplo, no primeiro retângulo ao longo de \(x\) e \(y\), seria \((1,1)\), depois \((2,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\), \((1,3)\), \((2,3)\).

A soma de Riemann se expressa como \(\sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta x \,\Delta y\). Substituindo cada ponto:

\(f(1,1) = 1 + 2(1) = 3\)
\(f(2,1) = 2 + 2(1) = 4\)
\(f(1,2) = 1 + 2(2) = 5\)
\(f(2,2) = 2 + 2(2) = 6\)
\(f(1,3) = 1 + 2(3) = 7\)
\(f(2,3) = 2 + 2(3) = 8\)

Soma total: \[ (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \times 1 \times 1 = 33. \]

Portanto, a soma de Riemann aproximada é \(33\).

EXERCÍCIO SR2-ALFA-2

ORIGEM: Departamento de Análise de Combustível - Projeto Lunar

Seja \(D\) a região limitada por \(0 \leq x \leq 1\) e \(0 \leq y \leq 2\). Considere a função \(\displaystyle f(x,y) = x^2 + y\). Faça \(m=2\) e \(n=2\) subdivisions para estimar \(\iint_D f(x,y)\, dA\) via soma de Riemann nos cantos inferiores esquerdos de cada retângulo.

[SUGESTÃO]: Identifique cuidadosamente cada sub-retângulo e os pontos inferiores esquerdos.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Temos \(\Delta x = \frac{1}{2}\) e \(\Delta y = \frac{2}{2} = 1\). Os pontos amostrais (inferiores esquerdos) são:

\((0,0)\), \((\frac{1}{2}, 0)\)
\((0,1)\), \((\frac{1}{2}, 1)\)

Avaliando \(f\):
\(f(0,0) = 0^2 + 0 = 0\)
\(f(\tfrac{1}{2},0) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 0 = \tfrac{1}{4}\)
\(f(0,1) = 0^2 + 1 = 1\)
\(f\!\bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr) = \tfrac{1}{4} + 1 = \tfrac{5}{4}\)

Soma de Riemann: \[ \Bigl(0 + \tfrac{1}{4}\Bigr)\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1 \;+\; \Bigl(1 + \tfrac{5}{4}\Bigr)\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{1}{2} \;+\; \tfrac{9}{4}\cdot \tfrac{1}{2}. \]

\(\tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}\) e \(\tfrac{9}{4}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{8}\).
Soma total = \(\tfrac{1}{8} + \tfrac{9}{8} = \tfrac{10}{8} = 1.25\).

EXERCÍCIO SR2-ALFA-3

ORIGEM: Sistemas de Reentrada Atmosférica - Centro de Pesquisas [REDACTED]

Calcule a soma de Riemann aproximada para \(\iint_D e^x \,dA\) em \(D = [0,1]\times [0,1]\), com \(m=2\) e \(n=2\) divisões, usando pontos médios como amostras.

[SUGESTÃO]: Pontos médios em cada sub-retângulo ficam a \(\Delta x/2\) e \(\Delta y/2\) do canto inferior esquerdo.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Cada sub-retângulo terá dimensão \(\Delta x = \tfrac{1-0}{2} = 0.5\), \(\Delta y = 0.5\).

Ponto médio do primeiro sub-retângulo: \((0.25, 0.25)\), do segundo: \((0.75, 0.25)\), terceiro: \((0.25, 0.75)\), quarto: \((0.75, 0.75)\).

Soma de Riemann (pontos médios): \[ \Bigl(e^{0.25} + e^{0.75} + e^{0.25} + e^{0.75}\Bigr) \times (0.5)\times (0.5). \] Observa-se que \(e^{0.25}\) aparece duas vezes e \(e^{0.75}\) aparece duas vezes.

Fator comum: \[ 2\,e^{0.25} + 2\,e^{0.75}. \] Multiplicando por \(0.5 \times 0.5 = 0.25\), obtemos: \[ 0.25 \bigl(2\,e^{0.25} + 2\,e^{0.75}\bigr) = 0.5\,\bigl(e^{0.25} + e^{0.75}\bigr). \]

Valor aproximado numérico (se desejado) pode ser calculado tomando \(e^{0.25}\approx 1.2840\) e \(e^{0.75}\approx 2.1170\). A soma ficaria em torno de \(0.5 \times (1.2840 + 2.1170) \approx 0.5 \times 3.401 = 1.7005.\)

EXERCÍCIO SR2-BETA-1

ORIGEM: Análise de Painéis Solares - Projeto de Estação Orbital

Seja \(D = [1,2]\times [2,4]\). Considere a função \(\displaystyle f(x,y) = \ln(xy)\) e aplique \(m=2, n=2\) subdivisões. Use pontos amostrais no canto superior esquerdo. Calcule a soma de Riemann aproximada.

[SUGESTÃO]: Lembre-se de que \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\).

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

\(\Delta x = \frac{2-1}{2} = 0.5\), \(\Delta y = \frac{4-2}{2} = 1.\)

Canto superior esquerdo de cada retângulo:
1º retângulo: \((x,y)\approx(1,3)\); 2º retângulo: \((1.5,3)\); 3º retângulo: \((1,4)\); 4º retângulo: \((1.5,4)\).

Avaliando \(f\): \(\ln(1\times 3) = \ln(3)\), \(\ln(1.5\times 3)=\ln(4.5)\), \(\ln(1\times 4)=\ln(4)\), \(\ln(1.5\times 4)=\ln(6)\).

Soma: \[ (\ln 3 + \ln 4.5 + \ln 4 + \ln 6)\times 0.5 \times 1. \]
\(\ln(4.5)\approx 1.5041\); \(\ln(3)\approx 1.0986\); \(\ln(4)\approx 1.3863\); \(\ln(6)\approx 1.7918\).

Somando: \(1.0986 + 1.5041 + 1.3863 + 1.7918 \approx 5.7808.\) Multiplicando por \(0.5\), obtemos aproximadamente \(2.8904\).

EXERCÍCIO SR2-BETA-2

ORIGEM: Seção de Testes Térmicos - Foguete Saturn V

Use uma soma de Riemann com \(m=3\) e \(n=3\) em \(D=[0,3]\times[0,3]\) para estimar \(\iint_D \sqrt{x^2 + y^2}\, dA\) com pontos no canto inferior esquerdo. Considere apenas a forma simbólica da soma, sem necessariamente calcular a parte numérica.

[SUGESTÃO]: Cada sub-retângulo tem dimensões \(\Delta x = 1\) e \(\Delta y = 1\), e os pontos inferiores esquerdos são inteiros.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Divisão: 3 partes em \(x\), 3 partes em \(y\). \(\Delta x = 1\), \(\Delta y = 1\).

Pontos inferiores esquerdos: \((0,0), (1,0), (2,0)\), depois \((0,1), (1,1), (2,1)\), e \((0,2), (1,2), (2,2)\).

Soma de Riemann: \[ \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2} \sqrt{i^2 + j^2}\,\Delta x \,\Delta y. \] Explicitamente: \[ (\sqrt{0+0} + \sqrt{1+0} + \sqrt{4+0} + \sqrt{0+1} + \sqrt{1+1} + \sqrt{4+1} + \sqrt{0+4} + \sqrt{1+4} + \sqrt{4+4}) \times 1 \times 1. \]

Logo, \(\sqrt{0} + \sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{8}\). Esse valor multiplicado por 1 é a soma solicitada.

EXERCÍCIO SR2-BETA-3

ORIGEM: Equipe de Dinâmica de Voos Espaciais - Iniciativa Gemini

Calcule a soma de Riemann de \(\iint_D \cos(xy)\, dA\) no domínio \(D=[0,2]\times [1,2]\), com \(m=2\) e \(n=1\) subdivisões, usando pontos médios.

[SUGESTÃO]: Cada subdivisão em \(x\) terá largura 1. No eixo \(y\), há apenas uma subdivisão de altura 1.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Divisão: em \(x\), \(\Delta x = 1\); em \(y\), \(\Delta y = 1\). O intervalo em \(y\) é [1,2], uma única faixa.

Pontos médios no eixo \(x\): \(0.5\) e \(1.5\). No eixo \(y\), ponto médio: \(1.5\).

Assim, temos dois sub-retângulos. Seus pontos médios: \((0.5,1.5)\) e \((1.5,1.5)\).

Soma de Riemann: \[ \bigl[\cos(0.5\times 1.5) + \cos(1.5\times 1.5)\bigr]\,\Delta x\,\Delta y = \bigl[\cos(0.75) + \cos(2.25)\bigr]\times 1\times 1. \]

EXERCÍCIO SR2-GAMMA-1

ORIGEM: Seção Avançada de Propulsão - [REDACTED]

Seja \(D = [0,2]\times [0,2]\). Estime \(\iint_D (x^3 + y^3)\, dA\) via soma de Riemann com \(m=2\) e \(n=2\), usando pontos superiores direitos.

[SUGESTÃO]: Calcular separadamente para cada sub-retângulo e somar.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

\(\Delta x = 1\), \(\Delta y = 1\). Pontos superiores direitos: \((1,1), (2,1), (1,2), (2,2)\).

Função: \(f(x,y) = x^3 + y^3\).
\(f(1,1) = 1 + 1 = 2\); \(f(2,1) = 8 + 1 = 9\); \(f(1,2) = 1 + 8 = 9\); \(f(2,2) = 8 + 8 = 16\).

Soma: \((2 + 9 + 9 + 16)\times (1)(1) = 36.\)

EXERCÍCIO SR2-GAMMA-2

ORIGEM: Análise de Campos Gravitacionais - Missão Secreta [REDACTED]

Seja \(D=[1,2]\times [1,3]\). A função \(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x+y}\). Use soma de Riemann com \(m=1, n=2\) e pontos médios no eixo \(y\). Calcule a soma aproximada.

[SUGESTÃO]: No eixo \(x\), uma única subdivisão: \(\Delta x=1\). No eixo \(y\), duas subdivisões: cada \(\Delta y=1\). Pontos médios em \(y\): 1.5 e 2.5.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

\(\Delta x = (2-1)=1\). \(\Delta y=\frac{3-1}{2}=1\).

A única subdivisão em \(x\) é [1,2]. Para \(y\), as faixas são [1,2] e [2,3].

Pontos médios no eixo \(y\): 1.5, 2.5. No eixo \(x\), ponto médio entre 1 e 2 é 1.5, se usamos soma de Riemann por ponto médio também no \(x\). Então os pontos são: \((1.5, 1.5)\) e \((1.5, 2.5)\).

Avaliando \(f\): \[ f(1.5, 1.5) = \frac{1}{1.5 + 1.5} = \frac{1}{3} = 0.3333, \quad f(1.5, 2.5) = \frac{1}{1.5 + 2.5} = \frac{1}{4} = 0.25. \]

Soma total: \((0.3333 + 0.25)\times 1\times 1 = 0.5833\).

Aproximação: 0.5833 (pode variar ligeiramente pela precisão).

EXERCÍCIO SR2-GAMMA-3

ORIGEM: Divisão de Campos Eletromagnéticos - Operação Lunar [SIGILOSA]

Calcule a soma de Riemann (com pontos de canto inferior esquerdo) para \(\iint_D x^2y^2 \, dA\), onde \(D=[0,2]\times[0,1]\), dividindo \(D\) em \(m=2\) (no eixo \(x\)) e \(n=1\) (no eixo \(y\)).

[SUGESTÃO]: \(\Delta x = 1\), \(\Delta y = 1\). Há dois sub-retângulos no eixo \(x\).

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Subdivisões em \(x\): [0,1] e [1,2]. Única subdivisão em \(y\): [0,1].

Canto inferior esquerdo para o 1º retângulo: \((0,0)\), para o 2º retângulo: \((1,0)\).

Avaliando a função \(x^2y^2\): \[ f(0,0)=0, \quad f(1,0)=1^2\times 0^2=0. \]

Soma de Riemann: \[ (0 + 0)\times 1 \times 1 = 0. \]

Observa-se que, para essa escolha de pontos e partições, obtemos 0 como valor aproximado.

EXERCÍCIO SR2-OMEGA-1

ORIGEM: Laboratório Especial de Análise Numérica - CIA

Estime \(\iint_D \sin(x) + y \, dA\) em \(D = [0,\pi]\times [0,1]\) usando \(m=3\) e \(n=2\) divisões, com pontos amostrais nos cantos superiores direitos.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

\(\Delta x = \frac{\pi - 0}{3} = \frac{\pi}{3}\), \(\Delta y = \frac{1 - 0}{2} = 0.5\).

Canto superior direito para cada subdivisão: por exemplo, primeiro retângulo em \(x\) (0 a \(\pi/3\)) e \(y\) (0 a 0.5), terá ponto \((\pi/3, 0.5)\).

Procede-se de forma análoga para os outros 5 sub-retângulos. A soma de Riemann final terá a forma: \[ \sum (\sin(x_{ij}^*) + y_{ij}^*) \,\Delta x\, \Delta y, \] considerando cada canto superior direito.

EXERCÍCIO SR2-OMEGA-2

ORIGEM: Centro de Navegação Interplanetária - Operação Phoenix

Para a função \(f(x,y) = e^{-x^2 - y^2}\) no domínio \(D=[0,2]\times[0,2]\), construa a soma de Riemann com \(m=2, n=2\) e pontos médios, mas liste apenas as coordenadas de cada ponto médio e a expressão geral do somatório.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

Subdivisão: \(\Delta x=1\), \(\Delta y=1\). Pontos médios em cada sub-retângulo: \((0.5, 0.5)\), \((1.5, 0.5)\), \((0.5, 1.5)\), \((1.5, 1.5)\).

Expressão geral: \[ \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y = \bigl[e^{-(0.5)^2-(0.5)^2} + e^{-(1.5)^2-(0.5)^2} + e^{-(0.5)^2-(1.5)^2} + e^{-(1.5)^2-(1.5)^2}\bigr]\times 1\times 1. \]

EXERCÍCIO SR2-OMEGA-3

ORIGEM: Divisão de Análise Criptográfica - Iniciativa Aérea Especial

Seja \(D=[0,1]\times[0,1]\). Utilize \(m=n=2\) e pontos no canto inferior esquerdo para estimar \(\iint_D \ln(1 + x^2 + y^2)\, dA\). Explique a expressão da soma de Riemann resultante.

RELATÓRIO DE CÁLCULO [NÍVEL-SIGMA REQUERIDO]

\(\Delta x=0.5\), \(\Delta y=0.5\). Pontos inferiores esquerdos: \((0,0), (0.5,0), (0,0.5), (0.5,0.5)\).

Soma de Riemann: \[ \bigl[\ln(1 + 0^2 + 0^2) + \ln(1 + 0.5^2 + 0^2) + \ln(1 + 0^2 + 0.5^2) + \ln(1 + 0.5^2 + 0.5^2)\bigr]\times 0.5\times 0.5. \]

Simbolicamente: \(\ln(1) + \ln(1 + 0.25) + \ln(1 + 0.25) + \ln(1 + 0.25 + 0.25)\). Multiplica-se tudo por \(0.25\).