SIGILOSO
DATA: 05 DE AGOSTO DE 1966
LOCALIZAÇÃO: INSTALAÇÃO ███ – SETOR █
RELATÓRIO DE COMPILAÇÃO: PROJETO DOUBLE‑CHECK

Em meio às revisões finais do Programa Gemini, a equipe de matemática aplicada foi instruída a consolidar o
conhecimento obtido sobre integrais em duas dimensões. O presente dossiê reúne problemas estratégicos destinados a aferir a
profundidade de compreensão antes da avaliação interna de rendimento orbital.
Este volume contém tópicos vitais para o êxito das manobras em órbita baixa. Qualquer divulgação acarretará sanções operacionais.
REF: VX‑3210‑RNÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑4CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: REVISÃO DE INTEGRAIS DUPLAS

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\iint_D f(x,y)\,dA = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{(x_i^*,y_i^*) \in P} f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i\]

Onde \(D\) é uma região limitada do plano, \(P\) uma partição de \(D\) e \(\Delta A_i\) as áreas das sub‑regiões. A convergência da soma de Riemann estabelece a existência da integral dupla, permitindo estimativas de fluxo térmico, distribuição de massa e outras grandezas bidimensionais.

Aplicações no cálculo da carga estrutural de painéis, na predição de hot‑spots de reentrada e no balanço de propelente em tanques segmentados.
NOTA HISTÓRICA: Durante o teste Gemini X (1966), falhas de telemetria exigiram recomputações manuais de áreas sob curvas de pressão; o domínio descrito exigia somente a definição de integral dupla.
  1. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑1
    ORIGEM: Oficina de Placas Térmicas – Documento Técnico B‑17

    A região \(D\) é união de dois retângulos adjacentes: \(R_1=[0,1]\times[0,2]\) e \(R_2=[1,2]\times[0,1]\). Sabendo que \(f(x,y)=3x+2\) em todo \(D\), determine \[\iint_D f(x,y)\,dA\] apenas pela definição e pelas propriedades de aditividade.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Calcule cada retângulo separadamente.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Para \(R_1\): área \(=2\). Como \(f\) é constante em \(y\), \[\iint_{R_1} f = \int_0^1\int_0^2 (3x+2)\,dy\,dx = \int_0^1 (3x+2)\cdot2\,dx = 2\int_0^1(3x+2)dx = 2(\tfrac{3}{2}+2)=\boxed{7}.\]

    Para \(R_2\): área \(=1\). Integral: \[\int_1^2\int_0^1(3x+2)\,dy\,dx = \int_1^2(3x+2)\cdot1\,dx = \tfrac{3}{2}(2^2-1^2)+2(2-1)=\tfrac{9}{2}+2=\boxed{6.5}.\]

    Soma total: \(7+6.5=\boxed{13.5}.\)

  2. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑2
    ORIGEM: Análise de Propagação de Calor – Caderno Δ‑12

    Considere duas funções limitadas em \(D=[0,1]\times[0,1]\): \(g(x,y)=x^2\) e \(h(x,y)=x^2+y\). Sem calcular valores explícitos, explique por que \[\iint_D h\,dA \ge \iint_D g\,dA\] e confira o resultado computando ambas as integrais via definição.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Compare termo a termo na soma de Riemann.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Como \(h(x,y)=g(x,y)+y\) e \(y\ge0\) em \(D\), cada termo da soma de Riemann de \(h\) excede o correspondente de \(g\). Portanto \(\iint h\ge\iint g\).

    Computando: \(\iint_D x^2 \,dA = \int_0^1 x^2\,dx \cdot \int_0^1 dy = \tfrac{1}{3}\cdot1=\tfrac{1}{3}.\)

    \(\iint_D x^2+y\,dA = \tfrac{1}{3}+\int_0^1\int_0^1 y\,dy\,dx = \tfrac{1}{3}+\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_0^1=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{6}.\)

    Confirma‑se que \(\tfrac{5}{6} > \tfrac{1}{3}.\)

  3. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑3
    ORIGEM: Setor de Modelagem Numérica – Fita #45‑A

    A função \(q(x,y)=\begin{cases}1&\text{se }x>y\\0&\text{caso contrário}\end{cases}\) está definida em \(D=[0,1]\times[0,1]\). Discuta a integrabilidade de \(q\) e compute \(\iint_D q\,dA\) via contagem geométrica da região onde \(x>y\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Há simetria no quadrado unitário.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    O conjunto de descontinuidade é a diagonal \(x=y\) (medida nula), logo \(q\) é integrável.

    A região \(x>y\) corresponde a metade do quadrado unitário; área \(=\tfrac{1}{2}.\)

    Como \(q=1\) nessa metade e 0 no restante, a integral vale \(\boxed{0.5}.\)

  4. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑4
    ORIGEM: Laboratório de Ensaios Estruturais – Memo γ‑22

    Mostre numericamente a linearidade: calcule \[\iint_D \bigl(2x+3y\bigr)\,dA\] e \[2\iint_D x\,dA + 3\iint_D y\,dA\] em \(D=[0,1]\times[0,2]\) e compare.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Integre termo por termo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Total direto: \(\int_0^1\int_0^2 (2x+3y)\,dy\,dx=\int_0^1\bigl(2x\cdot2+3\tfrac{(2)^2}{2}\bigr)dx=\int_0^1(4x+6)dx=2+6=8.\)

    Separado: \(2\int_0^1\int_0^2 x\,dy\,dx =2\int_0^1x\cdot2dx=2(1)=2.\) \(3\int_0^1\int_0^2 y\,dy\,dx=3\int_0^12dx=6.\)

    Soma: \(2+6=8\). Linearidade confirmada.

  5. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑5
    ORIGEM: Departamento de Estruturas – Plano S‑13

    O domínio \(D\) é em forma de “L”: quadrado unitário \([0,2]\times[0,2]\) menos o sub‑quadrado \([1,2]\times[1,2]\). Calcule \(\iint_D 1\,dA\) e explique por que o resultado coincide com a área física.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Subtraia áreas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Área total do quadrado maior: 4. Área removida: 1. Logo área de \(D\)=3.

    \(\iint_D 1\,dA = \text{área}(D)=3.\)

  6. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑6
    ORIGEM: Painel de Controle – Diretiva Ω‑7

    Prove que se \(f\ge0\) em um domínio limitado \(D\) e \(\iint_D f\,dA=0\), então \(f=0\) em quase todo ponto de \(D\). Utilize apenas propriedades da soma de Riemann e conjuntos de medida nula.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Se existisse subconjunto \(E\subset D\) de área positiva onde \(f>0\), então nas sub‑regiões que cobrem \(E\) a soma inferior seria positiva, forçando \(\iint_D f>0\). Contradição. Portanto \(f=0\) exceto em conjunto de medida nula.

  7. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑7
    ORIGEM: Divisão de Aproximações Numéricas – Circular Ω‑9

    A função \(s(x,y)=\sin(\tfrac{1}{x+y})\) está definida em \(D=(0,1]\times(0,1]\) e estendida por continuidade como zero na borda onde \(x=0\) ou \(y=0\). Argumente sobre a integrabilidade de \(s\) em \(D\) apesar da oscilação infinita próximo à origem.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(|s|\le1\) e o conjunto problemático (uma vizinhança da origem) pode ter área arbitrariamente pequena; a oscilação não impede a convergência das somas de Riemann. Logo \(s\) é integrável.

  8. EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑8
    ORIGEM: Engenharia de Painéis Solares – Dossiê Ω‑11

    Em um painel retangular \(D=[0,5]\times[0,0.4]\) m², a densidade superficial de poeira é aproximada por uma constante \(\rho=8\times10^{-4}\,\text{kg/m}^2\). Determine a massa total depositada.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Área \(=5\times0.4=2\,\text{m}^2\). Massa \(=\rho\cdot\text{área}=8\times10^{-4}\times2=1.6\times10^{-3}\,\text{kg}.\)

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MATERIAL ULTRASSECRETO