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EXERCÍCIO VECTOR-1AORIGEM: Dados de Laboratório - Projeto de Cargas (MAR/1966)
Considere duas funções \(f(x,y)\) e \(g(x,y)\) definidas numa região D. Verifique se a seguinte propriedade de aditividade é válida:
\[\iint_D \bigl(f(x,y) + g(x,y)\bigr)\, dA \stackrel{?}{=} \iint_D f(x,y)\, dA \;+\; \iint_D g(x,y)\, dA.\]
Julgue a legitimidade dessa operação sem recorrer ao cálculo efetivo das integrais.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere as definições iniciais de somas de Riemann e como elas se somam ao juntar termos.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
A integral dupla possui a propriedade de linearidade em relação à soma de funções. Dessa forma, é válido escrever \(\iint_D (f+g) = \iint_D f + \iint_D g\), pois, na definição de soma de Riemann, os valores de \(f\) e \(g\) se adicionam parcela a parcela.
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EXERCÍCIO VECTOR-1BORIGEM: Simulação Computacional - Centro de Controle Gemini (MAR/1966)
Para uma constante real \(c\) e uma função h(x,y) definida na região de estudo, avalie se:
\[\iint_D \bigl(c\,h(x,y)\bigr)\, dA \stackrel{?}{=} c \;\iint_D h(x,y)\, dA.\]
Explique por que (ou se) o fator constante pode ser destacado da integral.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Considere a soma de Riemann e o efeito de um fator constante em cada parcela.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
Assim como ocorre em integrais simples, a presença de uma constante multiplicativa em \(h(x,y)\) faz com que cada termo na soma de Riemann seja multiplicado por \(c\). Logo, o resultado final é \(c\) vezes a soma original. Portanto, a propriedade é válida.
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EXERCÍCIO VECTOR-1CORIGEM: Revisão Teórica Interna (SEÇÃO DE ANÁLISE) - MAR/1966
Uma função \(\phi(x,y)\) assume valor zero em toda a região D. Verificar se a seguinte proposição faz sentido sem qualquer integração explícita:
\[\iint_D \phi(x,y)\, dA = 0.\]
Discuta brevemente por que a integral de uma função nula deve ser nula.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
[NOTA TÉCNICA]: Lembre-se de que cada parcela na soma de Riemann seria zero.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
Se \(\phi(x,y) = 0\) para todo ponto de \(D\), cada valor tomado nas subdivisões também é zero, tornando a soma de Riemann nula. Portanto, a integral resultante também é zero.
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EXERCÍCIO VECTOR-2AORIGEM: Equipe de Propulsão - Levantamento de Parâmetros (ABR/1966)
Se \(f(x,y)\ge 0\) para todos os \((x,y)\) em D, discuta a validade da sentença:
\[\iint_D f(x,y)\, dA \;\ge\; 0.\]
Justifique sem computar a integral, apenas analisando a natureza dos valores de \(f\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de funções não negativas podem indicar algo sobre a soma total.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
Cada termo na soma de Riemann que define a integral é não-negativo, pois \(f(x,y) \ge 0\). Somar valores não negativos só pode resultar em um valor final não-negativo. Assim, a integral não pode ser negativa.
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EXERCÍCIO VECTOR-2BORIGEM: Projeto de Tanque de Combustível - Seção Aeroespacial (ABR/1966)
Suponha que a região D possa ser dividida em duas sub-regiões disjuntas \(D_1\) e \(D_2\). Avalie se:
\[\iint_D f(x,y)\, dA \;=\; \iint_{D_1} f(x,y)\, dA + \iint_{D_2} f(x,y)\, dA.\]
Nenhum método de integração deve ser usado; apenas discuta a consistência lógica da operação.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de decomposição do domínio podem ser relevantes.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
Se \(D_1\) e \(D_2\) formam uma partição exata de \(D\), então as somas de Riemann em \(D\) podem ser vistas como combinações das somas em \(D_1\) e \(D_2\). Dessa forma, a integral sobre \(D\) é a soma das integrais sobre as partes.
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EXERCÍCIO VECTOR-2CORIGEM: Equipe de Ensaios Estruturais (ABR/1966)
Analise a afirmação: \[\iint_D 1\, dA = \text{(área de D)}.\] Explique se essa identidade faz ou não sentido no âmbito das propriedades gerais da integral dupla.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
[NOTA TÉCNICA]: Propriedades de integrais constantes podem esclarecer a relação com a área.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
A integral de 1 sobre uma região \(D\) corresponde, na soma de Riemann, a somar "1" em cada subdivisão, multiplicado pela área de cada parcela. Ao somar tudo, obtém-se exatamente a área total de \(D\). Portanto, a afirmação é válida.
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EXERCÍCIO VECTOR-3AORIGEM: Simulação de Pressão - Módulo Lateral (MAI/1966)
Suponha \(f(x,y) \ge g(x,y)\) em todo ponto de D. Discuta a validade de
\[\iint_D f(x,y)\, dA \;\ge\; \iint_D g(x,y)\, dA,\]
levando em conta apenas a comparação pontual entre as funções e a definição básica da integral dupla.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Há invariantes quando consideramos partes que se sobrepõem ponto a ponto.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Se \(f(x,y)\) é sempre maior ou igual que \(g(x,y)\), então as somas de Riemann geradas por \(f\) serão, parcela a parcela, maiores ou iguais que as geradas por \(g\). Portanto, a integral de \(f\) será maior ou igual que a de \(g\).
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EXERCÍCIO VECTOR-3BORIGEM: Análise de Restrições Térmicas (MAI/1966)
Considere \(|f(x,y)| \le M\) para todo \((x,y)\) em D, onde \(M\) é uma constante positiva. Explique como tal limitação pode influenciar a integrabilidade de \(f\) e a possível finitude do valor de \(\iint_D f(x,y)\, dA\).
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: A existência de um limite superior costuma indicar algo sobre somas de Riemann.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Se \(|f|\) é limitado por \(M\), cada parcela na soma de Riemann é controlada pelo produto de \(M\) com a área da subdivisão. Dessa forma, a integral não se "explode" e tende a ser finita, pois \(|f|\) não cresce indefinidamente.
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EXERCÍCIO VECTOR-3CORIGEM: Seção de Modelagem Numérica - Dados Experenciais (JUN/1966)
Se duas funções \(f\) e \(g\) diferem apenas em um conjunto de pontos de medida nula (ou seja, em um conjunto "muito pequeno" dentro de D), discuta a validade de
\[\iint_D f(x,y)\, dA = \iint_D g(x,y)\, dA.\]
Aborde a noção de que valores em um conjunto de "massa zero" não afetam o resultado total.
ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
[NOTA TÉCNICA]: Existem pequenas parcelas que não alteram a soma total.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
A definição de integral dupla admite que diferenças em conjuntos de medida zero não alteram o valor final. As somas de Riemann em tais pontos são desprezíveis, garantindo que a integral de \(f\) seja igual à de \(g\) sob essa condição.
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EXERCÍCIO VECTOR-4AORIGEM: Departamento de Consistência Estrutural (JUL/1966)
Se \(f(x,y)\ge 0\) em D e \(\iint_D f(x,y)\, dA = 0\), discuta a possibilidade de \(f\) ser não-nula em algum subconjunto de \(D\). Em outras palavras, pode \(f\) assumir valores positivos e ainda ter integral igual a zero?
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Uma função não-negativa cuja integral seja zero deve ser nula quase em todo ponto de \(D\). Se \(f\) assumisse valores positivos em um conjunto de medida não nula, a soma de Riemann resultaria em valor positivo. Assim, \(f\) precisa ser zero na maior parte de \(D\).
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EXERCÍCIO VECTOR-4BORIGEM: Pesquisa sobre Regiões Poligonais (JUL/1966)
Suponha que \(D_1 \subset D_2\) e \(f(x,y)\ge 0\) em todas as regiões consideradas. Avalie a afirmação:
\[\iint_{D_1} f(x,y)\, dA \;\le\; \iint_{D_2} f(x,y)\, dA.\]
Discorra por que o fato de \(D_1\) ser estritamente contida em \(D_2\) influi, mesmo sem calcular as integrais.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Como \(D_1\) é parte de \(D_2\) e \(f\) é não-negativa, a soma de Riemann sobre \(D_1\) será um subconjunto (ou igual) da soma sobre \(D_2\). Logo, \(\iint_{D_1} f \le \iint_{D_2} f\). Se \(D_1 \neq D_2\), essa desigualdade é estrita se \(f\) assume valor positivo em algum ponto de \(D_2\setminus D_1\).
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EXERCÍCIO VECTOR-4CORIGEM: Seção Avançada de Análises Orbitais (AGO/1966)
Seja \(f(x,y) = c\), uma constante qualquer, definida sobre D. Justifique a relação:
\[\iint_D c \, dA = c \cdot \bigl(\text{área de }D\bigr).\]
Explique por que, mesmo sem integrar diretamente, esse resultado é consistente com a definição de integral dupla.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Em cada subdivisão de área \(\Delta A\), o valor de \(f\) é \(c\). Somando-se todas as parcelas \(c \cdot \Delta A\) obtém-se \(c\) multiplicado pela soma de todas as áreas (a área total de \(D\)). Assim, o resultado é exatamente \(c \times \text{área}(D)\).