Para cada sub-região retangular, escolhe-se um ponto \((x_i^*,\,y_i^*)\) no interior e calcula-se \(f(x_i^*,\,y_i^*)\,\Delta A_i\). A soma de todos esses termos, no limite em que o tamanho das partições tende a zero, define a integral dupla.

Assim, \(\iint_{D} f(x,y)\, dA\) surge como limite das somas de Riemann bidimensionais, respeitando a definição fundamental de integrabilidade.

Em uma partição bidimensional, cada sub-região possui área finita (por menor que seja). Uma linha isolada não "preenche" essas sub-regiões, pois seu conteúdo (área) permanece zero, mesmo ao refinar a partição.

Portanto, conjuntos de medida zero não alteram o valor final das somas de Riemann, preservando a mesma integral.

Um número finito de pontos de descontinuidade representa um conjunto de medida nula. Ao construir as somas de Riemann, o impacto desses pontos é desprezível no cálculo da área acumulada, não impedindo a função de ser integrável no domínio.

Assim, é plausível que \(f\) seja integrável em \(D\), atendendo às condições de integrabilidade.

Se \(m \leq f(x,y) \leq M\), então as somas de Riemann inferiores e superiores são limitadas por \(m \times \text{área}(D)\) e \(M \times \text{área}(D)\), respectivamente.

Assim, ao refinar as partições, a diferença entre a soma superior e a soma inferior tende a zero se a função for integrável, garantindo que \(\iint_D f\) exista nos limites impostos.

À medida que a partição se torna mais fina, o máximo e o mínimo de \(f\) em cada sub-região ficam mais próximos entre si. Consequentemente, \(\underline{S}(P,f)\) e \(\overline{S}(P,f)\) convergem para o mesmo valor-limite, caso \(f\) seja integrável.

Esse valor comum é definido como \(\iint_{D} f(x,y)\,dA\), validando o processo fundamental de aproximação via somas de Riemann.

Ao somar as contribuições de \(\alpha f\) e \(\beta g\) em cada sub-região, obtemos \(\sum [\alpha f(x_i^*,y_i^*) + \beta g(x_i^*,y_i^*)]\Delta A_i\).

Essa expressão se separa em \(\alpha \sum f(x_i^*,y_i^*)\Delta A_i + \beta \sum g(x_i^*,y_i^*)\Delta A_i\), indicando que o limite da soma (ou seja, a integral) também se decomporá linearmente, respeitando \(\iint(\alpha f+\beta g)=\alpha\iint f+\beta\iint g\).

As linhas \(x=y\) formam um conjunto unidimensional no plano, possuindo medida nula. Sendo \(f\) limitada e contínua na maior parte de \(D\), a presença dessas descontinuidades pontuais (ou lineares) não inviabiliza a integrabilidade.

Com a soma de Riemann devidamente construída, as discrepâncias em \(\Delta A_i\) sobre essas linhas não comprometem o limite final, confirmando a integrabilidade de \(f\).

Se \(D = D_1 \cup D_2\) e \(D_1 \cap D_2\) é um conjunto de medida nula (apenas fronteira comum), pode-se construir as somas de Riemann separadamente em cada região e somar os resultados.

No limite, a integral de \(f\) em \(D\) é a soma das integrais em \(D_1\) e \(D_2\), pois a fronteira não contribui significativamente para o valor (também de medida zero).

Vértices poligonais formam um conjunto discreto de pontos. Como cada ponto isolado tem conteúdo nulo, essas descontinuidades não contribuem no cálculo de área acumulada.

Em suma, para a maior parte do domínio, \(f\) continua limitada, e a soma de Riemann converge normalmente, validando a integrabilidade apesar das descontinuidades pontuais.

O formato do domínio, sendo limitado e mensurável, não impede a aplicação da definição de integral dupla via soma de Riemann. O fator decisivo é a regularidade de \(f\) em quase todo \(D\).

Ainda que a fronteira de \(D\) seja complexa, o refinamento das partições em regiões pequenas permite aproximar a área total e, se \(f\) for limitada e suas descontinuidades estiverem em conjuntos de medida zero, a integral existe.

Em zonas onde \(f\) varia de forma mais brusca, um maior refinamento das sub-regiões diminui a diferença entre as somas superiores e inferiores, controlando o erro total.

Esse processo de refinamento localizado, juntamente com a compreensão de que descontinuidades limitadas ocorrem em conjuntos de área nula, garante que a integral dupla exista quando \(f\) se mantém limitada e não exibe "descontinuidades" de grande medida.

A definição de integral via soma de Riemann baseia-se em partições arbitrárias de \(D\), assumindo apenas que \(f\) é limitada e que suas descontinuidades ocorrem em conjuntos de medida nula. A linearidade e a comparação entre somas inferiores e superiores asseguram consistência para a soma em 2D.

Assim, mesmo sem recorrer a Fubini ou outras ferramentas, já se estabelece um arcabouço firme para a existência e unicidade do valor integral, fundamentado apenas em partições, refinamentos e limitações de \(f\).