Pelo fato de o conjunto conter apenas um número finito de pontos, cada ponto pode ser coberto por um retângulo de área muito pequena. A soma das áreas de tais retângulos pode ser feita menor que qualquer \(\epsilon > 0\), mostrando que \(P\) tem conteúdo nulo.

Cada segmento da reta pode ser coberto por uma “faixa” de largura muito fina. Ao longo de toda a reta, a soma das áreas dessas faixas pode ser reduzida para um valor menor que qualquer \(\epsilon\). Portanto, a reta tem conteúdo nulo.

Cada circunferência é semelhante a uma reta fechada, que pode ser coberta por faixas de espessura arbitrariamente pequena. A união de dois conjuntos de conteúdo nulo também tem conteúdo nulo, pois podemos cobri-las simultaneamente sem ultrapassar qualquer \(\epsilon\).

Como a função é contínua num intervalo fechado, podemos dividi-lo em subintervalos pequenos, cobrindo cada segmento do gráfico com retângulos de altura reduzida. Ao somar as áreas, podemos torná-las menores que qualquer \(\epsilon\). Logo, o gráfico possui conteúdo nulo.

Se \(A\) pode ser coberto por retângulos de área total menor que \(\epsilon\), então \(A \cap B\) estará contido nessa mesma cobertura, pois \(A \cap B \subseteq A\). Logo, a área que cobre \(A \cap B\) não excederá a que cobre \(A\), garantindo que \(A \cap B\) também seja de conteúdo nulo.

Cada conjunto \(A_i\) pode ser coberto por retângulos de área total menor que \(\epsilon_i\). Ajustando cada \(\epsilon_i\) para que a soma seja menor que um \(\epsilon\) desejado, cobrimos todos os conjuntos simultaneamente, provando que a união finita ainda possui conteúdo nulo.

O Conjunto de Cantor unidimensional tem comprimento zero, podendo ser recoberto por intervalos arbitrariamente pequenos. Em duas dimensões, a interseção de retângulos que formam \(C\) também pode ser recoberta por áreas cada vez menores em cada etapa, resultando em conteúdo nulo. O raciocínio segue o mesmo princípio de “remoções sucessivas” e coberturas mínimas.

Se cada \(B_k\) pode ser coberto por retângulos de área menor que \(\epsilon 2^{-k}\), por exemplo, então a soma total para cobrir a união infinita é menor que \(\epsilon \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} = \epsilon\). Assim, a união enumerável de conjuntos de conteúdo nulo também tem conteúdo nulo.

Se \(\overline{X}\) for de conteúdo nulo, então toda a “região” que inclui \(X\) e seus pontos de fronteira pode ser coberta por retângulos de área total menor que \(\epsilon\). Como \(X \subset \overline{X}\), a mesma cobertura vale para \(X\). Logo, \(X\) também é de conteúdo nulo.

A borda de um polígono consiste em um número finito de segmentos de reta. Cada segmento de reta é de conteúdo nulo, e a união finita mantém essa propriedade. Portanto, não existe condição para o contorno (sem interior) deixar de ter conteúdo nulo, considerando a definição de cobertura por retângulos.

A curva suave fechada em \(\mathbb{R}^2\) é semelhante à circunferência em termos de área zero, e pontos finitos também não acrescentam área. Logo, todo o conjunto tem conteúdo nulo, não impactando o valor de uma integral dupla (quando esta for desenvolvida).

Um exemplo é uma união enumerável de pontos ou uma curva fractal que não preencha área. O ponto central é garantir que, para cada porção do conjunto, existam retângulos de área somada menor que \(\epsilon\). Mesmo que seja infinito, a soma das áreas pode permanecer arbitrariamente pequena.