A função f(x,y) = x + y é contínua em todo R², logo é limitada em D. O conjunto [0,2]×[0,3] é um retângulo fechado e limitado, portanto Jordan-measurável. Pela definição de integrabilidade, funções contínuas em conjuntos limitados e fechados são integráveis. Conclusão: condição atendida.

A função polinomial g(x,y) = x² + y² é contínua em todo o R². Sendo contínua e definida em um quadrado fechado [-1,1]×[-1,1], ela é limitada e não possui descontinuidades. Logo, cumpre a condição de integrabilidade (limitada e conjunto Jordan-measurável). Não há pontos singulares para comprometer a definição de integrabilidade.

A função sin(x) e cos(y) são contínuas e estão limitadas entre -1 e 1. O produto sin(x)cos(y) também é contínuo no retângulo fechado [0,π]×[0,π]. Pela definição de integrabilidade, toda função contínua em um conjunto Jordan-measurável e limitado é integrável. Logo, a condição é satisfeita.

A função f(x,y) é contínua para todos (x,y) no disco {x² + y² ≤ 4}. Além disso, o domínio é fechado, limitado e Jordan-measurável (um disco). Por ser contínua no interior e na fronteira, f não possui descontinuidades. Portanto, atende às condições de integrabilidade (função limitada em um conjunto limitado e bem definido).

A função é característica de uma região no quadrado [-2,2]×[-2,2] e apresenta descontinuidade ao longo das retas x=0 e y=0. Entretanto, essas linhas têm medida nula em R². A função é limitada (assume apenas os valores 0 e 1), e o domínio é Jordan-measurável e limitado. Segundo os critérios de integrabilidade, um conjunto de descontinuidades de medida nula não impede a integrabilidade da função. Assim, ela é integrável em Q.

A fronteira de D é um conjunto de medida nula no retângulo R. Embora haja mudança de expressão na fronteira, a função permanece limitada (pois em qualquer ponto, h é finito). Como a descontinuidade se restringe a linhas delimitadas, a medida dessas linhas é zero em R². Portanto, h é integrável em R.

A função ln(1 + x² + y²) é contínua em todo o anel A. O anel é um domínio fechado e limitado (a borda interna x² + y² = 1 e a borda externa x² + y² = 4 não introduzem descontinuidades para a função). Assim, pelo critério de integrabilidade, uma função contínua em um conjunto Jordan-measurável é integrável.

A função g(x,y) = √(x² + y²) é contínua em todo R², incluindo o triângulo T. Nos vértices do triângulo (por exemplo, no ponto (0,0)), a função é bem definida e sem descontinuidades (vale 0). O domínio T é poligonal fechado, logo Jordan-measurável. Conclusão: integrabilidade não é comprometida.

A função 1 / √|xy| não está definida em xy=0. Essas linhas (os eixos) têm medida nula em R². No domínio considerado (retângulo [-1,1]×[-1,1], exceto onde xy=0), a função tende a infinito próxima dos eixos, mas o critério de integrabilidade não exige ausência de assíntotas, apenas que estejam contidas em um conjunto de medida nula. Assim, a descontinuidade principal ocorre num conjunto de medida nula e não necessariamente inviabiliza a integrabilidade. Uma análise mais aprofundada (integral imprópria) seria necessária, mas no nível atual há fortes indícios de integrabilidade.

A função pode oscilar intensamente à medida que (x,y) se aproxima de (0,0), mas permanece limitada entre -1 e 1 em todo o disco. O conjunto é fechado e limitado. Embora a continuidade seja comprometida no centro, a amplitude é sempre finita. É plausível argumentar que a região de oscilação concentrada não seja suficiente para invalidar a integrabilidade, pois sin(1 / r²) fica delimitada. A aferição rigorosa exigiria técnicas posteriores (integral imprópria), mas há fortes indícios de integrabilidade.

Se D tem medida nula, então χ_D é 1 apenas em um conjunto sem “área” no sentido de Lebesgue ou Jordan. Para fins de integrabilidade em um domínio limitado e fechado, isso implica que a soma superior e inferior podem ser controladas ao ponto de convergirem para 0. Logo, a função é integrável e sua integral seria essencialmente 0. A rigor, esse tipo de argumento exige uma definição robusta de integral em superfícies fractais, mas no sentido de Jordan, a medida nula garante a integrabilidade.

A expressão sin(z) / z é limitada em R, tendendo a 1 quando z → 0. No plano (x,y), ao retirar as linhas xy=0, removemos a possível indeterminação. Essas linhas, porém, constituem um conjunto de medida nula. Assim, em princípio, sin(xy)/(xy) permanece limitada e sem descontinuidades graves no restante do domínio. Há indícios de que a função seja integrável. A formalização completa exigiria um exame detalhado, mas a princípio o critério de medida nula das descontinuidades sugere integrabilidade.