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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑1ORIGEM: Sessão de Validação – Fluxo Bidimensional
Considere os campos bidimensionais \[\vec{F}_1(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad\vec{F}_2(x,y)=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}.\] (a) Calcule \(\nabla\cdot\vec F_1\) e \(\nabla\times\vec F_1\) (componente \(k\)).
(b) Repita para \(\vec F_2\).
(c) Explique por que combinar \(\vec{F}=\vec F_1+\vec F_2\) pode representar simultaneamente compressão e rotação em um sistema planar.
(d) **Esboce** as linhas de fluxo do campo resultante no plano \(xy\), destacando o efeito espiral produzido pela combinação de divergente e rotacional.ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
Algumas simetrias podem ser relevantes ao interpretar os sinais.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) Para \(\vec F_1\):
\[\nabla\cdot\vec F_1 = 2+3 =5, \qquad \nabla\times\vec F_1 = 0.\]
(b) Para \(\vec F_2\):
\[\nabla\cdot\vec F_2 = 0, \qquad \nabla\times\vec F_2 = 2.\]
(c) No campo combinado, a parte divergente (5) cria uma expansão radial uniforme, enquanto a componente rotacional (2) adiciona giro. Isto modela um bocal que expande e redireciona gases simultaneamente, permitindo maior manobrabilidade.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑2ORIGEM: Ensaio de Vórtice – Modelo 3D
O campo \(\vec V(x,y,z)=\begin{pmatrix}y\\-x\\z\end{pmatrix}\) descreve um fluxo em torno do eixo \(z\). (a) Verifique se \(\nabla\cdot\vec V=0\).
(b) Determine \(\nabla\times\vec V\).
(c) Explique, em termos do movimento das partículas, o que significa um campo com divergente nulo (volume preservado) mas rotacional não nulo. Dê um exemplo cotidiano simples, como o redemoinho de água que se forma ao escoar por um ralo.ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
Lembre‑se de que um divergente nulo indica preservação de volume, enquanto o rotacional evidencia giro local nas trajetórias.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) \[\nabla\cdot\vec V = 0+0+1 =1.\] Correção: a última derivada é \(\partial_z z =1\); logo o campo não é incompressível.
(b) \[\nabla\times\vec V = \begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}.\]
(c) O fluxo possui rotação horária combinada a dilatação axial. Em um circuito de fluido, tal comportamento provoca zonas helicoidais de pressão – úteis para misturar, mas críticas para estabilidade térmica.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑3ORIGEM: Simulação de Campo Temporizado
Seja \(\vec F(x,y,t)=\begin{pmatrix}x\cos t - y\sin t\\x\sin t + y\cos t\\0\end{pmatrix}.\) (a) Mostre que a magnitude de \(\vec F\) permanece constante em \(t\).
(b) Calcule \(\nabla\cdot\vec F\) e discuta a existência de fontes/sumidouros.
(c) Aponte por que este tipo de campo preserva área mas não necessariamente volume em extensões 3D.ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
Existem rotações não aparentes no sistema.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) \[|\vec F|^2 = x^2+y^2.\] Independente de \(t\), indicando rotação rígida.
(b) \[\nabla\cdot\vec F = 0.\] Não há criação nem destruição de matéria em 2D.
(c) Em 2D a transformação é uma isometria; entretanto, adicionando um eixo \(z\) que permaneça nulo, o volume 3D colapsa em um plano – útil para cintos transportadores que realinham peças sem variar densidade superficial.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑4ORIGEM: Avaliação de Mistura Radial + Rotacional
Analise o campo em 3D \[\vec G(x,y,z)=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}.\] (a) Determine \(\nabla\cdot\vec G\) e \(\nabla\times\vec G\).
(b) Mostre que as linhas de fluxo formam espirais logarítmicas no plano \(xy\).
(c) Discuta como tal combinação modela sistemas de injeção combustível onde expansão e torção coexistem.ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
Observe o cancelamento parcial entre efeitos.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) Divergente: \(\nabla\cdot\vec G = 2.\) Rotacional: \(\nabla\times\vec G = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}.\)
(b) Em coordenadas polares \(r,\theta\) obtém‑se \(\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{r}{1}\Rightarrow r=C e^{\theta}.\)
(c) Motores swirl utilizam essa geometria para homogeneizar mistura ar‑combustível mantendo pressão interna.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑5ORIGEM: Modelo Gravitacional Simplificado
Para \(\vec H(\vec r) = -k\dfrac{\vec r}{|\vec r|^3}\) com \(\vec r\neq0\): (a) Calcule \(\nabla\cdot\vec H\).
(b) Calcule \(\nabla\times\vec H\).
(c) Interprete por que a ausência de rotacional não implica fluxo divergente nulo fora da origem.ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
A simetria esférica simplifica integrais.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) Usando identidade conhecida: \(\nabla\cdot\dfrac{\vec r}{|\vec r|^3}=0\) para \(\vec r\neq0\); logo \(\nabla\cdot\vec H=0\).
(b) Rotacional de um campo radial é nulo: \(\nabla\times\vec H=\vec 0\).
(c) A inexistência de vorticidade não impede a presença de fortes gradientes de pressão; fontes/sumidouros concentram‑se em singularidades (origem) não tratadas pela derivada clássica.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑6ORIGEM: Teste de Campo 3D com Acoplamento
Defina \(\vec W(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+yz\\y-xz\\z\end{pmatrix}.\) (a) Determine as regiões onde \(\nabla\cdot\vec W>0\), \(<0\) ou \(=0\).
(b) Mostre que \(\nabla\times\vec W\) muda de orientação ao atravessar o plano \(z=0\).
(c) Explique como identificar zonas de turbulência em ensaios de túnel de vento a partir destas mudanças.RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) \[\nabla\cdot\vec W = 1+1+1 =3.\] Positivo em todo espaço; o campo é fonte uniforme.
(b) \[\nabla\times\vec W = \begin{pmatrix} -2z\\ 2z\\ 0 \end{pmatrix}.\] O vetor inverte sentido quando \(z\) muda de sinal.
(c) Tais inversões indicam cisalhamento vertical – um critério para onset de turbulência que afeta reentradas atmosféricas.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑7ORIGEM: Prova de Identidade Vetorial Clássica
Demonstre analiticamente que \(\nabla\cdot(\nabla\times\vec A)=0\) para qualquer campo suave \(\vec A\). Em seguida, verifique diretamente a identidade para \(\vec A(x,y,z)=\begin{pmatrix}yz\\xz\\xy\end{pmatrix}.\)
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
Expandindo componentes mostra‑se que cada termo cancela par a par. Para o campo dado, cálculo direto de \(\nabla\times\vec A\) seguido de divergente resulta em 0, confirmando a identidade.
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EXERCÍCIO VECTOR‑REVIEW‑8ORIGEM: Estudo de Zona Crítica – Compressão × Rotação
Seja o campo parametrizado \[\vec P(x,y)=\alpha\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\] com constantes \(\alpha,\beta>0\). (a) Determine os valores de \(\alpha/\beta\) que anulam o rotacional mantendo divergente positivo.
(b) Para o valor crítico encontrado, descreva fisicamente a configuração de fluxo em um fluxo resultante se comporta em função da razão \(lpha/eta\): quando \(eta\) predomina, o efeito expansivo (divergente) é mais forte; quando \(lpha\) predomina, surge um giro dominante (rotacional).RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
(a) \[\nabla\times\vec P = 2(\alpha) -0 =0 \Rightarrow \alpha=0.\] Mas \(\alpha>0\) por hipótese, logo não há combinação que zere o rotacional sem violar condição. Entretanto, o inverso é possível: escolher \(\beta=0\) resulta em divergente nulo com rotacional não nulo. A coexistência de ambos efeitos requer \(\alpha,\beta \neq0\); logo rotacional e divergente nunca anulam simultaneamente.
(b) No regime \(\alpha\ll\beta\) o fluxo é predominantemente expansivo, minimizando vorticidade – desejável para estabilidade de discos aerodinâmicos durante frenagem orbital.