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EXERCÍCIO LIMITES-1ORIGEM: Análise de Funções Bidimensionais [Relatórios do Centro de Pesquisa [REDACTED], 1962]
Verificar se o limite abaixo existe ao aproximar-se do ponto \((0,0)\): \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}. \] Este tipo de análise é fundamental para prever comportamentos críticos em funções que descrevem sistemas de controle de trajetória.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
ANÁLISE DO LIMITE:
Se aproximarmos \((x,y)\) ao longo de \(y = x\), obtemos: \[ \frac{x^2 - x^2}{x^2 + x^2} = \frac{0}{2x^2} = 0. \]
Se aproximarmos \((x,y)\) ao longo de \(y = 0\), obtemos: \[ \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \frac{x^2}{x^2} = 1. \]
Como os valores obtidos são diferentes dependendo do caminho, o limite não existe.
CONCLUSÃO: Não há limite único em \((0,0)\). Função não é contínua nesse ponto.
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EXERCÍCIO LIMITES-2ORIGEM: Departamento de Dinâmica Orbital [Documentos interceptados da Agência [REDACTED]]
Considere a função vetorial \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} e^{x-y} \\ \sqrt{x^2 + y^2} \end{pmatrix}\). Verifique a continuidade de \(\vec{F}(x,y)\) no ponto \((0,0)\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
PASSO 1: Analisar cada componente.
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Primeira componente: \(e^{x-y}\).
Em \((0,0)\), \(e^{0-0} = e^0 = 1\). A função exponencial é contínua para todos os valores reais. -
Segunda componente: \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
Em \((0,0)\), \(\sqrt{0 + 0} = 0\). A raiz quadrada da soma de quadrados também é contínua onde está definida.
Como ambas as componentes são contínuas em \((0,0)\), a função vetorial \(\vec{F}\) também é contínua nesse ponto.
CONCLUSÃO: \(\vec{F}(x,y)\) é contínua em \((0,0)\).
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Primeira componente: \(e^{x-y}\).
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EXERCÍCIO LIMITES-3ORIGEM: Dados Telemétricos do Projeto [REDACTED] [Baseados em leituras de trajetória]
Uma sonda espacial está descrita pela função de trajetória no tempo: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 3t \\ 2 + \sin(t) \end{pmatrix}. \] Verifique se \(\vec{r}(t)\) é contínua em \(t = \pi\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
PROCEDIMENTO:
Cada componente de \(\vec{r}(t)\) é dada por funções elementares (polinômio e seno). Tanto \(3t\) quanto \(2 + \sin(t)\) são contínuos para todo \(t \in \mathbb{R}\).
Em \(t = \pi\): \[ \vec{r}(\pi) = \begin{pmatrix} 3\pi \\ 2 + \sin(\pi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\pi \\ 2 \end{pmatrix}. \]
Como não há saltos ou indefinições na soma de funções contínuas, concluímos que \(\vec{r}(t)\) é contínua em \(t = \pi\) (e em todo \(t \in \mathbb{R}\)).
CONCLUSÃO: A trajetória não apresenta descontinuidades neste intervalo.
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EXERCÍCIO LIMITES-4ORIGEM: Seção de Revisão Matemática [Avaliação de Campos Vetoriais]
Analise a continuidade do campo vetorial: \[ \vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\[6pt] \dfrac{x - y}{x + y} \end{pmatrix} \] no ponto \((1,-1)\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Para a segunda componente, \(\dfrac{x - y}{x + y}\), se substituirmos \((x,y) = (1,-1)\), obtemos divisor zero: \[ x + y = 1 + (-1) = 0. \]
Isso significa que a função não está definida nesse ponto, logo não pode ser contínua lá.
Já a primeira componente, \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\), estaria bem definida para \((1,-1)\). Porém, para que \(\vec{F}(x,y)\) seja contínua, ambas as componentes precisam ser contínuas (e definidas) naquele ponto.
CONCLUSÃO: \(\vec{F}\) não é contínua em \((1,-1)\) pois a segunda componente não está definida nesse par de coordenadas.
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EXERCÍCIO LIMITES-5ORIGEM: Laboratório de Sistemas Propulsivos [Registros de Simulações Avançadas]
Seja a função de tempo de voo para uma sonda experimental: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{t} \\ \ln(t + 1) \end{pmatrix}, \quad t > 0. \] Investigue a continuidade de \(\vec{r}(t)\) para \(t > 0\) e discuta o limite quando \(t \to 0^+\).
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
PARTE 1: Continuidade para \(t > 0\).
Ambas as componentes, \(\frac{1}{t}\) e \(\ln(t + 1)\), são funções contínuas para \(t > 0\).
PARTE 2: Limite quando \(t \to 0^+\).
- \(\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t} = +\infty\).
- \(\lim_{t \to 0^+} \ln(t + 1) = \ln(1) = 0\).
A primeira componente tende ao infinito, logo \(\vec{r}(t)\) não converge para um valor finito quando \(t \to 0^+\).
CONCLUSÃO: \(\vec{r}(t)\) é contínua para todo \(t > 0\), mas apresenta comportamento não-limitado quando \(t\) se aproxima de \(0\) pela direita.