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EXERCÍCIO 2-AARQUIVO: Programa Vostok (1961) — [DADOS PARCIALMENTE DESCLASSIFICADOS]
A trajetória de uma cápsula espacial em órbita baixa pode ser descrita por uma função vetorial no plano: \[ \vec{r}(t) = \bigl(R\cos t,\; R\sin t\bigr), \] onde \(R\) é o raio orbital (aproximadamente constante) e \(t\) é o tempo (em segundos).
Solicitação:- (a) Identifique as componentes \(x(t)\) e \(y(t)\) de \(\vec{r}(t)\).
- (b) Explique sucintamente por que essa função descreve um movimento circular.
[DICA OPERACIONAL]: Relembre que \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\).ACESSAR SOLUÇÃO [NÍVEL 4 REQUERIDO]
SOLUÇÃO:
(a) As componentes são \(x(t) = R\cos t\) e \(y(t) = R\sin t\).
(b) A soma dos quadrados das componentes resulta em \(x(t)^2 + y(t)^2 = R^2 \bigl(\cos^2 t + \sin^2 t\bigr) = R^2\), indicando que o ponto \(\bigl(x(t), y(t)\bigr)\) permanece a uma distância constante \(R\) da origem, caracterizando um círculo.
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EXERCÍCIO 2-BARQUIVO: Missão Apollo (1970) — [DADOS PARCIALMENTE DESCLASSIFICADOS]
Um experimento de microgravidade a bordo da Apollo é descrito pela função \[ \vec{F}(t) = \bigl(t,\; t^2,\; e^t\bigr), \] onde cada componente representa um sensor de deslocamento no eixo correspondente.
Solicitação:- (a) Calcular a posição no tempo \(t=0\), isto é, \(\vec{F}(0)\).
- (b) Determinar a derivada \(\vec{F}'(t)\) e interpretar seu significado no contexto da variação de cada sensor.
ACESSAR SOLUÇÃO [NÍVEL 4 REQUERIDO]
SOLUÇÃO:
(a) Em \(t=0\), obtemos \(\vec{F}(0) = (0, 0^2, e^0) = (0, 0, 1)\).
(b) A derivada de \(\vec{F}(t)\) é \[ \vec{F}'(t) = \bigl(1,\; 2t,\; e^t\bigr). \]
Geometricamente, \(\vec{F}'(t)\) indica a taxa de variação de cada componente (ou seja, de cada sensor) em função do tempo. -
EXERCÍCIO 2-CARQUIVO: Projeto Gemini (1965) — [DADOS PARCIALMENTE DESCLASSIFICADOS]
Suponha que uma transformação vetorial 2D, que descreve a mudança de coordenadas em um sistema de navegação, seja dada por:
\[ \vec{T}(x, y) = \bigl(2x + y,\; -x + 3y\bigr). \]
Solicitação:- (a) Calcule \(\vec{T}(1, 2)\).
- (b) Interprete como essa transformação afeta um vetor arbitrário do plano.
ACESSAR SOLUÇÃO [NÍVEL 4 REQUERIDO]
SOLUÇÃO:
(a) \(\vec{T}(1, 2) = (2\cdot1 + 2,\; -1 + 3\cdot2) = (4, 5)\).
(b) A transformação combina operações lineares (escala e rotação/shear). Ou seja, cada par \((x, y)\) é mapeado para um novo par que mistura os valores de \(x\) e \(y\). Isso pode representar, por exemplo, uma mudança de base ou de perspectiva num sistema de navegação.
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EXERCÍCIO 2-DARQUIVO: Laboratório de Propulsão (1982) — [DADOS PARCIALMENTE DESCLASSIFICADOS]Um campo vetorial de análise de gases é definido por: \[ \vec{G}(x, y, z) = \bigl(x^2 + y,\; y^2 + z,\; z^2 + x\bigr). \]
Solicitação:- (a) Calcule \(\vec{G}(1, 2, 3)\).
- (b) Descreva como cada componente do campo depende das variáveis espaciais \((x,y,z)\).
ACESSAR SOLUÇÃO [NÍVEL 4 REQUERIDO]
SOLUÇÃO:
(a) \(\vec{G}(1, 2, 3) = \bigl(1^2 + 2,\; 2^2 + 3,\; 3^2 + 1\bigr) = (3,\; 7,\; 10).\)
(b) A primeira componente cresce com \(x^2\) e soma \(y\), a segunda cresce com \(y^2\) e soma \(z\), e a terceira cresce com \(z^2\) e soma \(x\). Em problemas físicos, esse tipo de campo pode indicar variações não-lineares da pressão ou concentração de partículas em cada eixo.
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EXERCÍCIO 2-EARQUIVO: Projeto Skylab (1973) — [DADOS PARCIALMENTE DESCLASSIFICADOS]
Analise o movimento descrito por: \[ \vec{v}(t) = \bigl(e^t\cos t,\; e^t\sin t\bigr). \] Esse tipo de trajetória pode ser usado para simular movimentos combinados de rotação e expansão em condições de gravidade reduzida.
Solicitação:- (a) Verifique se o movimento é circular ou espiral.
- (b) Calcule a velocidade \(\vec{v}'(t)\) e a aceleração \(\vec{v}''(t)\).
- (c) Discuta como \(\|\vec{v}(t)\|\) se comporta à medida que \(t\) aumenta.
[DICA OPERACIONAL]: Analise o módulo da função: \(\sqrt{(e^t\cos t)^2 + (e^t\sin t)^2}\).ACESSAR SOLUÇÃO [NÍVEL 4 REQUERIDO]
SOLUÇÃO:
(a) Observamos que \(\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{ e^{2t}(\cos^2 t + \sin^2 t) } = e^t\). Assim, o raio não é constante; ele cresce exponencialmente. Logo, trata-se de uma espiral (não é um círculo de raio fixo).
(b) \[ \vec{v}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^t\cos t,\; e^t\sin t\bigr) = \bigl(e^t\cos t - e^t\sin t,\; e^t\sin t + e^t\cos t\bigr). \]
\[ \vec{v}''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^t\cos t - e^t\sin t,\; e^t\sin t + e^t\cos t\bigr). \] O cálculo detalhado mostra termos mistos de \(e^t\cos t\) e \(e^t\sin t\) em cada derivada.(c) Como \(\|\vec{v}(t)\| = e^t\), seu módulo cresce exponencialmente com o tempo \(t\). Em um contexto físico, isso poderia representar um afastamento acelerado do centro de rotação.