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EXERCÍCIO VECTOR-2AORIGEM: Equipe de Análise Vetorial - Projeto Mercury [TRANSMISSÃO INTERNA APROVADA EM 08/OUT/1962]
Considere o campo vetorial \[ \vec{F}(x, y, z) = \bigl( x^2 y,\; 2y z,\; 3z \bigr). \] Determine a divergência \(\nabla \cdot \vec{F}\) e avalie, com base no resultado, se este campo apresenta fontes ou sumidouros na origem.
[NOTA TÉCNICA]: Lembrar que \(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\).RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
PROTOCOLO DE CÁLCULO DA DIVERGÊNCIA:
\[ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2 y z) + \frac{\partial}{\partial z}(3 z). \]
Cálculos: \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2x y, \quad \frac{\partial}{\partial y}(2 y z) = 2z, \quad \frac{\partial}{\partial z}(3 z) = 3. \]
Portanto: \[ \nabla \cdot \vec{F} = 2xy + 2z + 3. \]
Análise na origem (\(x=0, y=0, z=0\)):
\(\nabla \cdot \vec{F}(0,0,0) = 3\).
Divergência positiva indica fonte neste ponto. -
EXERCÍCIO VECTOR-2BORIGEM: Departamento de Dinâmica de Voos [RELATÓRIO CONFIDENCIAL DO PROJETO [REDACTED]]
Seja \(\vec{G}(x,y,z) = \bigl(\sin(xy),\; y^2 + z,\; xz - y \bigr)\). Determine se \(\vec{G}\) é solenoidal, isto é, se \(\nabla \cdot \vec{G} = 0\) em todo o espaço.
Desafio adicional: Caso a divergência não seja zero, indique as regiões (se houver) onde ela se anula. Aplique este resultado para discutir possíveis implicações em trajetórias orbitais sujeitas a forças variáveis em diferentes pontos do espaço.
Observação: Este problema requer manipulação de derivadas parciais com produtos de funções trigonométricas e polinomiais. Utilize protocolos avançados de computação ou derive cuidadosamente cada componente.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Cálculo da divergência:
\[ \nabla \cdot \vec{G} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(xy)\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2 + z\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(xz - y\bigr). \]
Primeiro termo: \(\frac{\partial}{\partial x}[\sin(xy)] = y \cos(xy).\)
Segundo termo: \(\frac{\partial}{\partial y}[y^2 + z] = 2y.\)
Terceiro termo: \(\frac{\partial}{\partial z}[xz - y] = x.\)Logo, \[ \nabla \cdot \vec{G} = y\cos(xy) + 2y + x. \]
Análise: Este valor não é, em geral, zero para todos \(x, y, z\). Logo, \(\vec{G}\) não é solenoidal em todo o espaço.
Para encontrar as regiões onde a divergência se anula, resolvemos: \[ y\cos(xy) + 2y + x = 0. \] Dependendo dos valores de \(x\) e \(y\), pode haver soluções específicas. Por exemplo, se \(y=0\), então o termo \(x\) deve ser \(0\), implicando \(x=0\). Assim, a origem \((0,0,z)\) é uma região onde a divergência é nula.
Fisicamente, em trajetórias orbitais, regiões onde \(\nabla \cdot \vec{G} = 0\) podem implicar balanço entre componentes do campo; entretanto, por não ser nulo globalmente, tais equilíbrios podem ser pontuais ou limitados.
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EXERCÍCIO VECTOR-2CORIGEM: Laboratório de Propulsão Avançada – Programa Gemini [REGISTRO PARCIAL OBTIDO EM 12/OUT/1962]
Dado o campo vetorial \(\vec{H}(x, y, z) = \bigl(e^{x}y,\; x y^2,\; z^3 - x\bigr)\), calcule a divergência \(\nabla \cdot \vec{H}\).
Tarefa adicional: Verifique se existe algum ponto onde \(\nabla \cdot \vec{H} = 0\). Em caso afirmativo, discuta a relevância de tais pontos para o balanceamento de forças em um sistema de propulsão.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Cálculo da divergência:
\[ \nabla \cdot \vec{H} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^2\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^3 - x\bigr). \]
Primeiro termo: \(\frac{\partial}{\partial x}[e^x y] = e^x y.\)
Segundo termo: \(\frac{\partial}{\partial y}[x y^2] = x (2y).\)
Terceiro termo: \(\frac{\partial}{\partial z}[z^3 - x] = 3 z^2.\)Portanto, \[ \nabla \cdot \vec{H} = e^x y + 2xy + 3z^2. \]
Para investigar se \(\nabla \cdot \vec{H}\) pode ser igual a zero, resolvemos: \[ e^x y + 2xy + 3z^2 = 0. \] De modo geral, pode haver pontos específicos satisfazendo a equação; por exemplo, \(x=0, y=0, z=0\) resulta em \(0 + 0 + 0 = 0\). Assim, a origem é um ponto onde a divergência se anula.
Em termos de propulsão, pontos onde \(\nabla \cdot \vec{H} = 0\) podem indicar regiões de equilíbrio de fluxo, relevantes para ajustes de trajetória.
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EXERCÍCIO VECTOR-2DORIGEM: Seção de Análises Orbitais – Programa Apollo [DOCUMENTO PARCIALMENTE CENSURADO]
Considere o campo \(\vec{M}(x,y,z) = (x^2 - y^2,\; xy,\; x + y + z)\). Determine \(\nabla \cdot \vec{M}\) e conclua se o campo pode ser classificado como “irrotacional” ou “solenoidal” somente com base no valor da divergência. Justifique sua resposta.
Dica: Lembre-se de que a condição para um campo ser solenoidal é \(\nabla \cdot \vec{M} = 0\), mas a condição para ser irrotacional envolve o rotacional e não apenas o divergente.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Cálculo da divergência:
\[ \nabla \cdot \vec{M} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(xy) + \frac{\partial}{\partial z}(x + y + z). \]
Primeiro termo: \(\frac{\partial}{\partial x}[x^2 - y^2] = 2x.\)
Segundo termo: \(\frac{\partial}{\partial y}[xy] = x.\)
Terceiro termo: \(\frac{\partial}{\partial z}[x + y + z] = 1.\)Portanto, \[ \nabla \cdot \vec{M} = 2x + x + 1 = 3x + 1. \]
Análise: O campo não é solenoidal em todo o espaço, pois \(\nabla \cdot \vec{M}\) não é identicamente zero. Ele se anula apenas em \(x = -\frac{1}{3}\).
Com relação à irrotacionalidade, é preciso calcular o rotacional \(\nabla \times \vec{M}\). Logo, saber apenas o divergente não permite concluir se o campo é ou não irrotacional.
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EXERCÍCIO VECTOR-2EORIGEM: Equipe de Inteligência Científica [REDACTED] [ARQUIVO CLASSIFICADO]
Suponha que \(\vec{K}(x,y,z) = (xyz,\; x^2 + z^2,\; \ln(1 + x^2 + y^2))\). Calcule \(\nabla \cdot \vec{K}\). Investigue se existem regiões no espaço nas quais esse divergente seja negativo, e interprete fisicamente o que isso implicaria para um campo de forças.
Observação: A presença de funções logarítmicas pode exigir cuidado especial em pontos onde o argumento seja zero.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
Cálculo da divergência:
\[ \nabla \cdot \vec{K} = \frac{\partial}{\partial x}(xyz) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + z^2) + \frac{\partial}{\partial z}[\ln(1 + x^2 + y^2)]. \]
Primeiro termo: \(\frac{\partial}{\partial x}[xyz] = yz.\)
Segundo termo: \(\frac{\partial}{\partial y}[x^2 + z^2] = 0\), pois não depende de \(y\).
Terceiro termo: \(\frac{\partial}{\partial z}[\ln(1 + x^2 + y^2)] = 0\), pois não depende de \(z\).Portanto, \[ \nabla \cdot \vec{K} = yz. \]
Análise de sinal: \(yz\) pode assumir valores positivos, negativos ou zero, dependendo dos sinais de \(y\) e \(z\). Se \(yz < 0\), o divergente é negativo, implicando um comportamento de sumidouro (ou colapso local) no campo de forças.
Fisicamente, divergência negativa em regiões específicas pode indicar pontos onde o campo "entra" mais do que "sai" — relevante em cenários orbitais onde forças convergem.