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EXERCÍCIO DERIV-1AORIGEM: Análise Básica de Funções Escalares [DADOS INTERCEPTADOS DE LABORATÓRIO [REDACTED]]
Considere a função: \[ f(x,y) = x^2 \, y + e^y \, x \] Determine: \[ \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial y}. \]
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Cálculo da derivada parcial em relação a \(x\):
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 y + e^y x\bigr) = 2xy + e^y. \]
Cálculo da derivada parcial em relação a \(y\):
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 y + e^y x\bigr) = x^2 + x e^y. \]
Análise confirma consistência em aplicações de projeto ███████.
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EXERCÍCIO DERIV-1BORIGEM: Projeto VECTOR-Z [RELACIONADO AO MÓDULO DE ATERRISSAGEM]
Temos a função de potencial gravitacional simplificada em 2D: \[ \phi(x,y) = -\frac{G M}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \] Calcule: \[ \frac{\partial \phi}{\partial x} \quad \text{e} \quad \frac{\partial \phi}{\partial y}. \] Faça a análise do sinal físico de cada componente.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Passo 1: Identificar \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Passo 2: Derivar usando regra da cadeia.
\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = -GM \, \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{r}\right) = -GM \left(-\frac{1}{r^2}\right) \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{GM}{r^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \]
\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{GM\, x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}. \]\[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{GM\, y}{(x^2 + y^2)^{3/2}}. \]
Análise de sinal e direção da força: Note que \(\frac{\partial \phi}{\partial x}\) ou \(\frac{\partial \phi}{\partial y}\) podem ser positivos ou negativos conforme \(x\) ou \(y\) sejam positivos ou negativos, refletindo que o potencial \(\phi(x,y) = -\frac{GM}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) torna-se menos negativo à medida que nos afastamos da origem em qualquer direção positiva. Entretanto, a força associada é dada por \[ \mathbf{F} = -\nabla \phi, \] ou seja, é o negativo dessas derivadas. Isso garante que o vetor força aponte sempre em direção à origem (atração gravitacional), mesmo quando as derivadas parciais do potencial em relação a \(x\) e \(y\) sejam positivas Análise de sinal e direção da força: Note que \(\frac{\partial \phi}{\partial x}\) ou \(\frac{\partial \phi}{\partial y}\) podem ser positivos ou negativos conforme \(x\) ou \(y\) sejam positivos ou negativos, refletindo que o potencial \(\phi(x,y) = -\frac{GM}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) torna-se menos negativo à medida que nos afastamos da origem em qualquer direção positiva. Entretanto, a força associada é dada por \[ \mathbf{F} = -\nabla \phi, \] ou seja, é o negativo dessas derivadas. Isso garante que o vetor força aponte sempre em direção à origem (atração gravitacional), mesmo quando as derivadas parciais do potencial em relação a \(x\) e \(y\) sejam positivas para valores positivos de \(x\) ou \(y\). para valores positivos de \(x\) ou \(y\).
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EXERCÍCIO DERIV-1CORIGEM: Pesquisa Avançada em Termodinâmica Orbital [FRUTO DA PARCERIA COM [REDACTED]]
A função de energia total de um satélite em órbita (simplificada) é dada por: \[ E(v, r) = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GM m}{r}. \] Calcule: \[ \frac{\partial E}{\partial v} \quad \text{e} \quad \frac{\partial E}{\partial r}. \] Interprete fisicamente cada derivada.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Derivada em relação a \(v\):
\[ \frac{\partial E}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) - \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{GM m}{r}\right) = m v. \] (a segunda parcela é constante em \(v\)).
Interpretação: Corresponde à variação de energia cinética com a velocidade (relacionada ao momento linear).
Derivada em relação a \(r\):
\[ \frac{\partial E}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) - \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{GM m}{r}\right) = 0 + GM m \frac{1}{r^2}. \] Observe que o termo de energia cinética independe de \(r\), nessa forma simplificada.
Interpretação: Indica a variação do potencial gravitacional com o raio, representando a força gravitacional em módulo (sem o sinal negativo, pois aqui estamos olhando para a energia).
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EXERCÍCIO DERIV-1DORIGEM: Departamento de Dinâmica de Fluidos [COLABORAÇÃO COM PROJETO [REDACTED]]
Considere o campo vetorial planar: \[ \vec{F}(x,y) = \bigl(x^3 + 2y\bigr)\hat{i} + \bigl(x\,y^2 - y\bigr)\hat{j}. \] Calcule as derivadas parciais: \[ \frac{\partial \vec{F}}{\partial x} \quad \text{e} \quad \frac{\partial \vec{F}}{\partial y}. \]
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
Em notação de componentes:
\(\vec{F}(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}\),
onde \(P(x,y) = x^3 + 2y\) e \(Q(x,y) = x\,y^2 - y\).Derivada parcial em relação a \(x\):
\[ \frac{\partial \vec{F}}{\partial x} = \left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right)\hat{j} = \bigl(3x^2\bigr)\hat{i} + \bigl(y^2\bigr)\hat{j}. \]
Derivada parcial em relação a \(y\):
\[ \frac{\partial \vec{F}}{\partial y} = \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\hat{j} = \bigl(2\bigr)\hat{i} + \bigl(2xy - 1\bigr)\hat{j}. \]
Análise confirma influências significativas da componente \(\hat{j}\) na estabilidade de trajetória.
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EXERCÍCIO DERIV-1EORIGEM: Equipe de Controle e Navegação Orbital [RELATÓRIOS CRIPTOGRAFADOS DE [REDACTED]]
Uma função para descrever o perfil de temperatura em um módulo espacial é: \[ T(x,y,z) = A e^{-k(x^2 + y^2)} + Bz, \] onde \(A\), \(B\) e \(k\) são constantes positivas, e \(z\) é a altura dentro do módulo. Determine: \[ \frac{\partial T}{\partial x}, \quad \frac{\partial T}{\partial y} \quad \text{e} \quad \frac{\partial T}{\partial z}. \] Justifique por que a derivada em \(z\) é linear.
RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
\[ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(A e^{-k(x^2 + y^2)} + Bz \right) = A \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-k(x^2 + y^2)}\bigr) = A \bigl(-k \cdot 2x \bigr) e^{-k(x^2 + y^2)} = -2Akx\, e^{-k(x^2 + y^2)}. \]
\[ \frac{\partial T}{\partial y} = -2Aky\, e^{-k(x^2 + y^2)}. \]
\[ \frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(Bz\right) = B. \]
Justificativa: A contribuição de \(Bz\) é linear em \(z\), pois \(\frac{\partial}{\partial z}(Bz) = B\). Não há outro termo dependente de \(z\) na porção exponencial, que só depende de \(x\) e \(y\).