PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

Substituindo as coordenadas do ponto \(P(1,2)\) no campo vetorial:

\[\vec{F}(1,2) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\]

INTERPRETAÇÃO FÍSICA: O vetor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) representa a direção e magnitude da força atuante no ponto \(P(1,2)\). Observe que a componente vertical (y) é três vezes maior que a componente horizontal (x), indicando uma tendência de movimento predominantemente vertical. Isto pode representar, por exemplo, a força resultante em uma nave espacial devido a combinação de campos gravitacionais e propulsão.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) Calculando o campo em cada ponto:

\[\vec{G}(1,0) = \begin{pmatrix} -0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\vec{G}(0,1) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\vec{G}(-1,0) = \begin{pmatrix} -0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\]

\[\vec{G}(0,-1) = \begin{pmatrix} -(-1) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

(b) PADRÃO GEOMÉTRICO: Observamos que os vetores são sempre perpendiculares à linha radial do ponto até a origem e têm magnitude igual à distância do ponto à origem. Isso forma um campo vetorial circular (ou de rotação), onde cada vetor é tangente ao círculo centrado na origem que passa pelo ponto. Este padrão é conhecido como campo rotacional e tem aplicações importantes em fenômenos como vórtices atmosféricos e dinâmica de fluidos.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) DIREÇÃO DO CAMPO:

O termo \(\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\) é um vetor unitário na direção de \(\vec{r}\), apontando para fora do centro. O sinal negativo na equação inverte esta direção, fazendo com que \(\vec{F}\) aponte sempre em direção ao centro do corpo celeste. Isto corresponde à natureza atrativa da força gravitacional.

(b) VARIAÇÃO DA INTENSIDADE:

A magnitude do campo é dada por:

\[|\vec{F}| = \frac{k}{|\vec{r}|^2}\]

Isto demonstra que a intensidade do campo gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância, confirmando a Lei da Gravitação Universal de Newton. Esta relação inversa do quadrado explica por que a gravidade diminui rapidamente à medida que nos afastamos de um corpo celeste.

APLICAÇÃO: Este modelo é fundamental para calcular trajetórias precisas de satélites e veículos espaciais em órbita terrestre e para missões interplanetárias.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) Calculando os valores do campo nos pontos dados:

Para \(A(1,1)\):

\[\vec{H}(1,1) = \begin{pmatrix} 1^2 - 1^2 \\ 2 \cdot 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Para \(B(2,0)\):

\[\vec{H}(2,0) = \begin{pmatrix} 2^2 - 0^2 \\ 2 \cdot 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Para \(C(0,2)\):

\[\vec{H}(0,2) = \begin{pmatrix} 0^2 - 2^2 \\ 2 \cdot 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

(b) PONTOS DE CAMPO NULO:

Para \(\vec{H}(x,y) = \vec{0}\), devemos ter:

\[x^2 - y^2 = 0\]

\[2xy = 0\]

Da segunda equação, temos \(xy = 0\), o que significa que \(x = 0\) ou \(y = 0\).

Se \(x = 0\), pela primeira equação: \(0 - y^2 = 0\), o que implica \(y = 0\).

Se \(y = 0\), pela primeira equação: \(x^2 - 0 = 0\), o que implica \(x = 0\).

Portanto, o único ponto onde o campo é nulo é a origem \(O(0,0)\). Este ponto representa uma singularidade no campo, o que pode ser interpretado como um ponto de equilíbrio ou estagnação no contexto de sistemas dinâmicos.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) Calculando o fluxo nos pontos dados:

Para \(P_1(1,1,1)\):

\[\vec{V}(1,1,1) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Para \(P_2(2,-2,3)\):

\[\vec{V}(2,-2,3) = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

(b) COMPORTAMENTO NO PLANO \(xy\):

Restringindo o campo ao plano \(xy\), temos:

\[\vec{V}_{xy}(x,y) = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}\]

Este campo corresponde a um movimento de rotação horária centrado na origem. Para qualquer ponto \((x,y)\), o vetor velocidade é perpendicular ao raio vetor que liga a origem ao ponto, formando um padrão circular. A magnitude da velocidade aumenta proporcionalmente à distância da origem.

(c) VARIAÇÃO AO LONGO DO EIXO \(z\):

A componente \(z\) do campo de velocidade é simplesmente \(z\), o que significa que:

• Se \(z > 0\), a partícula se move para cima (sentido positivo do eixo \(z\))
• Se \(z < 0\), a partícula se move para baixo (sentido negativo do eixo \(z\))
• Se \(z = 0\), não há movimento vertical

A velocidade na direção \(z\) aumenta linearmente com a distância ao plano \(xy\). Combinando este movimento vertical com a rotação no plano \(xy\), obtemos um movimento helicoidal (em espiral) cuja "abertura" aumenta com \(|z|\).

APLICAÇÃO: Este tipo de campo é relevante para modelar vórtices atmosféricos e turbulências que podem afetar veículos espaciais durante a reentrada.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) PADRÃO GEOMÉTRICO:

O termo \(\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\) cria um campo circular em torno da origem. Para qualquer ponto \((x,y)\), o vetor do campo é perpendicular ao raio vetor da origem até o ponto, formando círculos concêntricos em torno da origem.

Fisicamente, isto corresponde à configuração do campo magnético ao redor de um fio condutor reto transportando corrente elétrica, onde o fio está localizado perpendicularmente ao plano \(xy\), passando pela origem. As linhas de campo magnético formam círculos concêntricos ao redor do fio, como previsto pela Lei de Ampère.

(b) VARIAÇÃO DA INTENSIDADE:

A magnitude do campo é dada por:

\[|\vec{B}(x,y)| = \frac{k}{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{(-y)^2 + x^2} = \frac{k}{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{k}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]

Sendo \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) a distância do ponto \((x,y)\) à origem (onde o fio está localizado), temos:

\[|\vec{B}(x,y)| = \frac{k}{r}\]

Portanto, a intensidade do campo magnético é inversamente proporcional à distância ao fio condutor, seguindo a Lei de Biot-Savart para um fio condutor infinito.

(c) PONTOS DE CAMPO NULO OU INFINITO:

O campo é nulo apenas no infinito, onde \(r \to \infty\) e, consequentemente, \(|\vec{B}| \to 0\).

O campo se torna infinito quando \(r \to 0\), ou seja, exatamente no local do fio condutor (origem). Matematicamente, isto ocorre porque \(x^2 + y^2 = 0\) no denominador da expressão.

APLICAÇÃO: Este modelo é crucial para entender como os campos magnéticos interagem com veículos espaciais e para desenvolver proteções contra radiação para astronautas, uma vez que a Terra e outros corpos celestes possuem campos magnéticos que afetam a navegação e segurança das missões.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) COMPORTAMENTO NO PLANO \(z = 0\):

Substituindo \(z = 0\) no campo, obtemos:

\[\vec{W}(x,y,0) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}\]

Neste plano, o vento flui radialmente para fora a partir da origem, com intensidade proporcional à distância da origem. Em cada ponto \((x,y,0)\), o vetor vento aponta diretamente para fora, na mesma direção do vetor posição \((x,y,0)\).

(b) VARIAÇÃO COM A ALTITUDE \(z\):

Analisando o campo para diferentes valores de \(z\):

Para \(z < 0\) (altitudes negativas):

- A componente \(x\) é reduzida pelo termo \(yz\) quando \(y > 0\) e aumentada quando \(y < 0\)

- A componente \(y\) é aumentada pelo termo \(xz\) quando \(x > 0\) e reduzida quando \(x < 0\)

- Isso cria um padrão de rotação anti-horária sobreposto ao fluxo radial

Para \(z > 0\) (altitudes positivas):

- A componente \(x\) é aumentada pelo termo \(yz\) quando \(y > 0\) e reduzida quando \(y < 0\)

- A componente \(y\) é reduzida pelo termo \(xz\) quando \(x > 0\) e aumentada quando \(x < 0\)

- Isso cria um padrão de rotação horária sobreposto ao fluxo radial

Além disso, a componente vertical do vento (\(z\)) faz com que o ar suba quando \(z > 0\) e desça quando \(z < 0\), criando um fluxo convergente para o plano \(z = 0\) em altitudes negativas e divergente deste plano em altitudes positivas.

(c) REGIÕES DE MAIOR INTENSIDADE:

A magnitude do campo é dada por:

\[|\vec{W}(x,y,z)| = \sqrt{(x+yz)^2 + (y-xz)^2 + z^2}\]

Para valores fixos de \(z\), a intensidade aumenta à medida que nos afastamos da origem no plano \(xy\). Além disso, para \(x\) e \(y\) fixos, a intensidade geralmente aumenta com \(|z|\) devido aos termos cruzados.

Específicamente, a intensidade será maior em regiões onde:

- \(|x|\) e \(|y|\) são grandes (longe da origem no plano horizontal)

- \(|z|\) é grande (altitudes extremas, positivas ou negativas)

- Os produtos \(|yz|\) e \(|xz|\) são grandes (combinação de coordenadas com valores absolutos elevados)

APLICAÇÃO: Este modelo é crucial para prever condições atmosféricas durante lançamentos e reentradas de veículos espaciais, permitindo identificar zonas de turbulência e cisalhamento de vento que podem comprometer a integridade estrutural da espaçonave.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) COMPORTAMENTO AO LONGO DO EIXO \(x\):

No eixo \(x\), temos \(y = 0\), então o campo se reduz a:

\[\vec{E}(x,0) = \begin{pmatrix} \frac{k(x+1)}{|x+1|^3} - \frac{k(x-1)}{|x-1|^3} \\ 0 \end{pmatrix}\]

Analisando por regiões:

1. Para \(x < -1\) (à esquerda da carga negativa):

Ambos os termos são negativos, indicando um campo apontando para a esquerda (sentido negativo do eixo \(x\)). A intensidade diminui com o aumento da distância.

2. Para \(-1 < x < 0\) (entre a carga negativa e a origem):

O campo aponta para a direita (sentido positivo do eixo \(x\)), afastando-se da carga negativa e direcionando-se à carga positiva.

3. Para \(0 < x < 1\) (entre a origem e a carga positiva):

O campo continua apontando para a direita, direcionando-se à carga positiva.

4. Para \(x > 1\) (à direita da carga positiva):

Ambos os termos são positivos, indicando um campo apontando para a direita. A intensidade diminui com o aumento da distância.

(b) PONTOS DE CAMPO NULO:

Para encontrar onde \(\vec{E} = \vec{0}\), devido à simetria do problema, sabemos que os únicos pontos de campo nulo estão no eixo \(y\) (onde \(x = 0\)).

Por simetria, no ponto \((0,0)\) (origem), as contribuições das duas cargas se cancelam exatamente, resultando em campo nulo.

Existem outros pontos de campo nulo, localizados no eixo \(y\) a distâncias específicas, onde as contribuições das duas cargas se cancelam devido ao equilíbrio entre suas influências.

(c) COMPORTAMENTO A GRANDES DISTÂNCIAS:

Para \(|(x,y)| \gg 1\) (pontos muito distantes da origem), o campo se comporta como o de um dipolo elétrico, com magnitude proporcional a \(1/r^3\), onde \(r\) é a distância à origem.

O campo tende a apontar do polo positivo para o polo negativo para pontos próximos ao eixo \(x\), e paralelo ao eixo \(x\) para pontos próximos ao eixo \(y\).

A distâncias muito grandes, a configuração específica das cargas se torna menos relevante, e o sistema pode ser aproximado como um dipolo pontual localizado na origem.

APLICAÇÃO: Este modelo é fundamental para entender como veículos espaciais interagem com campos eletromagnéticos naturais (como o campo magnético terrestre) e artificiais. O conhecimento desses padrões permite o desenvolvimento de sistemas de proteção contra interferências eletromagnéticas e o design de instrumentos que utilizam esses campos para orientação e comunicação.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) VALORES DO CAMPO EM \(P(1,0)\) PARA DIFERENTES TEMPOS:

Para \(t = 0\):

\[\vec{F}(1,0,0) = \begin{pmatrix} 1\cos(0) - 0\sin(0) \\ 1\sin(0) + 0\cos(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Para \(t = \pi/2\):

\[\vec{F}(1,0,\pi/2) = \begin{pmatrix} 1\cos(\pi/2) - 0\sin(\pi/2) \\ 1\sin(\pi/2) + 0\cos(\pi/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Para \(t = \pi\):

\[\vec{F}(1,0,\pi) = \begin{pmatrix} 1\cos(\pi) - 0\sin(\pi) \\ 1\sin(\pi) + 0\cos(\pi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Para \(t = 3\pi/2\):

\[\vec{F}(1,0,3\pi/2) = \begin{pmatrix} 1\cos(3\pi/2) - 0\sin(3\pi/2) \\ 1\sin(3\pi/2) + 0\cos(3\pi/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\]

(b) EVOLUÇÃO TEMPORAL DO CAMPO:

Para um ponto fixo \((x,y)\), o campo roda em torno da origem com período \(T = 2\pi\). A magnitude do vetor permanece constante, igual a \(\sqrt{x^2 + y^2}\), enquanto sua direção gira com velocidade angular constante de 1 rad/s.

Este padrão representa uma rotação rígida do plano em torno da origem. Para qualquer ponto \((x,y)\) que não seja a origem, o vetor do campo gira em sentido anti-horário, completando uma volta completa a cada \(2\pi\) unidades de tempo.

(c) PONTOS INVARIANTES:

Um ponto é invariante se o campo permanece constante nele para qualquer valor de \(t\). Isto só é possível se as expressões matemáticas não dependerem de \(t\), o que só ocorre quando ambas as componentes são sempre zero.

Resolvendo:

\[x\cos(t) - y\sin(t) = 0\]

\[x\sin(t) + y\cos(t) = 0\]

Para que estas equações sejam satisfeitas para todo \(t\), devemos ter \(x = 0\) e \(y = 0\), ou seja, apenas a origem \(O(0,0)\) é um ponto invariante sob a evolução temporal do campo.

APLICAÇÃO: Este tipo de campo vetorial dependente do tempo modela sistemas rotativos, como a rotação da Terra ou de uma estação espacial. A compreensão deste comportamento é essencial para o cálculo de trajetórias que envolvem sistemas de referência rotativos, como as órbitas de satélites em relação à Terra ou manobras de acoplamento com estações espaciais em rotação.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) PONTOS CRÍTICOS:

Para encontrar pontos críticos, igualamos \(\vec{F}(x,y) = \vec{0}\):

\[y^2 - x^2 = 0\]

\[-2xy = 0\]

Da segunda equação, temos \(xy = 0\), o que implica \(x = 0\) ou \(y = 0\).

Se \(x = 0\), da primeira equação: \(y^2 = 0\), o que implica \(y = 0\).

Se \(y = 0\), da primeira equação: \(-x^2 = 0\), o que implica \(x = 0\).

Portanto, o único ponto crítico é a origem \(O(0,0)\).

(b) e (c) ANÁLISE E CLASSIFICAÇÃO DO PONTO CRÍTICO:

Para classificar o ponto crítico, podemos analisar a matriz Jacobiana do campo no ponto \((0,0)\):

\[J(0,0) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} \end{pmatrix}_{(0,0)} = \begin{pmatrix} -2x & 2y \\ -2y & -2x \end{pmatrix}_{(0,0)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Observação: A matriz Jacobiana se anula na origem, o que significa que precisamos realizar uma análise mais detalhada, examinando os termos de ordem superior.

Podemos reescrever o campo em coordenadas polares: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\).

Após manipulação algébrica, obtemos:

\[\vec{F}(r,\theta) = r^2 \begin{pmatrix} \sin^2\theta - \cos^2\theta \\ -2\sin\theta\cos\theta \end{pmatrix} = -r^2 \begin{pmatrix} \cos(2\theta) \\ \sin(2\theta) \end{pmatrix}\]

Esta representação mostra que:

1. A magnitude do campo é proporcional a \(r^2\), o que significa que se aproxima de zero quando nos aproximamos da origem, e aumenta quadraticamente com a distância.

2. O campo aponta na direção \(-(\cos(2\theta), \sin(2\theta))\), o que representa um padrão com simetria de ordem 2 (repetição a cada \(\pi\) radianos).

Podemos verificar ainda que, para qualquer ponto \((x,y) \neq (0,0)\), o produto escalar \(\vec{F}(x,y) \cdot (x,y) = (y^2-x^2)x + (-2xy)y = -x^3 - y^3\) é sempre negativo ou zero, indicando que o campo tende a apontar na direção oposta ao vetor posição.

Baseado nesta análise, classificamos a origem como um ponto crítico não-hiperbólico com comportamento de atrator (embora não seja um atrator uniforme). O campo tende a "circular" ao redor da origem, com trajetórias que se aproximam dela em um padrão espiral, mas a taxa de aproximação varia com a direção.

APLICAÇÃO: Campos vetoriais não-lineares como este modelam sistemas complexos encontrados em mecânica celeste, como pontos de equilíbrio instáveis em campos gravitacionais combinados. O entendimento desses pontos críticos é essencial para o planejamento de trajetórias de naves espaciais que utilizam assistência gravitacional ou que devem navegar perto de pontos de Lagrange no sistema Terra-Lua.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) PONTOS DE CAMPO NULO:

Para encontrar os pontos onde \(\vec{G}(x) = 0\), devemos resolver:

\[\frac{m_1}{(x-x_1)^2}\text{sgn}(x-x_1) + \frac{m_2}{(x-x_2)^2}\text{sgn}(x-x_2) + \frac{m_3}{(x-x_3)^2}\text{sgn}(x-x_3) = 0\]

Devido à natureza da função sinal e ao fato de que \(x_1 < x_2 < x_3\), podemos analisar diferentes regiões:

Região 1: \(x < x_1\)

Nesta região, todos os termos são positivos, então não há solução.

Região 2: \(x_1 < x < x_2\)

Aqui, \(\text{sgn}(x-x_1) = +1\) e \(\text{sgn}(x-x_2) = \text{sgn}(x-x_3) = -1\)

A equação se torna:

\[-\frac{m_1}{(x-x_1)^2} + \frac{m_2}{(x-x_2)^2} + \frac{m_3}{(x-x_3)^2} = 0\]

Dependendo dos valores de \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\), pode existir um ponto de equilíbrio nesta região, que chamaremos de \(x_A\).

Região 3: \(x_2 < x < x_3\)

Nesta região, \(\text{sgn}(x-x_1) = \text{sgn}(x-x_2) = +1\) e \(\text{sgn}(x-x_3) = -1\)

A equação se torna:

\[-\frac{m_1}{(x-x_1)^2} - \frac{m_2}{(x-x_2)^2} + \frac{m_3}{(x-x_3)^2} = 0\]

Pode existir outro ponto de equilíbrio nesta região, que chamaremos de \(x_B\).

Região 4: \(x > x_3\)

Todos os termos são negativos, então não há solução.

Concluímos que podem existir até dois pontos de equilíbrio: um entre o primeiro e o segundo corpo (\(x_A\)), e outro entre o segundo e o terceiro corpo (\(x_B\)).

(b) ANÁLISE DE ESTABILIDADE:

Para classificar a estabilidade de um ponto de equilíbrio, analisamos a derivada do campo nesse ponto:

A derivada do campo é:

\[\frac{d\vec{G}}{dx} = \frac{2m_1}{|x-x_1|^3} \cdot \text{sgn}^2(x-x_1) + \frac{2m_2}{|x-x_2|^3} \cdot \text{sgn}^2(x-x_2) + \frac{2m_3}{|x-x_3|^3} \cdot \text{sgn}^2(x-x_3)\]

Como \(\text{sgn}^2(x) = 1\) para todo \(x \neq 0\), a derivada é sempre positiva nos pontos de equilíbrio, o que indica que ambos \(x_A\) e \(x_B\) são pontos de equilíbrio instáveis (do tipo sela).

Fisicamente, isso significa que uma pequena perturbação faria um objeto se afastar desses pontos de equilíbrio. Se deslocado ligeiramente em direção a um dos corpos celestes, o objeto seria atraído para esse corpo; se deslocado na direção oposta, se afastaria ainda mais.

(c) APLICAÇÕES EM MISSÕES ESPACIAIS:

Esses pontos de equilíbrio, embora instáveis, têm aplicações importantes em missões espaciais:

1. Pontos de estacionamento: Com mínimas correções periódicas, uma nave pode permanecer próxima a esses pontos com gasto energético reduzido.

2. Pontos de transferência: Devido à natureza instável, pequenos impulsos podem iniciar trajetórias em direções específicas com mínimo gasto de combustível.

3. Portais gravitacionais: Estes pontos podem servir como "portais" entre diferentes regimes orbitais, permitindo transferências eficientes entre órbitas de diferentes corpos.

4. Observatórios: São locais ideais para posicionar telescópios espaciais ou sondas de observação, pois oferecem pontos de vista estáveis e estratégicos.

5. Estrutura de missões "estacionárias": Em sistemas como Terra-Lua, estes pontos (análogos aos pontos de Lagrange L1 e L2) podem abrigar estações espaciais permanentes que servem como bases para exploração do sistema solar.

APLICAÇÃO ESTRATÉGICA: O entendimento preciso destes pontos de equilíbrio pode proporcionar vantagem significativa em termos de eficiência de combustível e alcance de missões espaciais, representando um avanço crítico para futuras missões tripuladas à Lua e eventualmente a Marte.

PROTOCOLO DE ANÁLISE VETORIAL:

(a) DIREÇÃO DO CAMPO:

O campo em qualquer ponto \((x,y,z)\) pode ser escrito como:

\[\vec{P}(x,y,z) = e^{-r^2} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = e^{-r^2} \vec{r}\]

onde \(\vec{r} = (x,y,z)\) é o vetor posição a partir da origem.

Portanto, a direção do campo em qualquer ponto coincide com a direção do vetor posição desse ponto em relação à origem. Em outras palavras, o campo aponta radialmente para fora a partir da origem em todos os pontos do espaço (exceto na própria origem, onde o campo é nulo).

(b) VARIAÇÃO DA MAGNITUDE COM A DISTÂNCIA:

A magnitude do campo é:

\[|\vec{P}(x,y,z)| = e^{-r^2} \cdot |\vec{r}| = r \cdot e^{-r^2}\]

Para analisar como esta magnitude varia com \(r\), calculamos a derivada:

\[\frac{d}{dr}(r e^{-r^2}) = e^{-r^2} - 2r^2 e^{-r^2} = e^{-r^2}(1 - 2r^2)\]

Esta derivada se anula quando \(1 - 2r^2 = 0\), ou seja, quando \(r = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Para \(r < \frac{1}{\sqrt{2}}\), a derivada é positiva, indicando que a magnitude do campo aumenta com \(r\).

Para \(r > \frac{1}{\sqrt{2}}\), a derivada é negativa, indicando que a magnitude do campo diminui com \(r\).

Portanto, a magnitude do campo atinge seu valor máximo em \(r = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\), e diminui assintoticamente para zero à medida que \(r\) aumenta além desse valor.

(c) TRABALHO REALIZADO PELO CAMPO:

O trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula ao longo de um caminho \(C\) é dado pela integral de linha:

\[W = \int_C \vec{P} \cdot d\vec{r}\]

Para uma linha reta da origem \((0,0,0)\) ao ponto \((1,1,1)\), parametrizamos o caminho como:

\[\vec{r}(t) = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad 0 \leq t \leq 1\]

Com \(d\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} dt\).

Ao longo deste caminho, temos \(r^2 = 3t^2\) e \(\vec{P}(\vec{r}(t)) = e^{-3t^2} \cdot t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

O trabalho é então:

\[W = \int_0^1 e^{-3t^2} \cdot t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} dt = 3 \int_0^1 t e^{-3t^2} dt\]

Usando a substituição \(u = 3t^2\), temos \(du = 6t dt\), ou \(t dt = \frac{du}{6}\):

\[W = 3 \int_0^3 \frac{e^{-u}}{6} du = \frac{1}{2} \int_0^3 e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_0^3 = \frac{1}{2} [-(e^{-3} - 1)] = \frac{1}{2} (1 - e^{-3})\]

Aproximadamente: \(W \approx 0.475\) unidades de trabalho.

APLICAÇÃO TECNOLÓGICA: Este modelo representa um campo de propulsão iônica experimental que poderia ser utilizado em sistemas de navegação de precisão para sondas espaciais. A capacidade de gerar campos vetoriais com decaimento gaussiano permite o controle finamente ajustado do impulso em diferentes regiões do espaço, otimizando o uso de energia e aumentando a eficiência de manobras orbitais complexas. Este tipo de tecnologia seria especialmente valioso para missões de longa duração, onde a eficiência de combustível é crítica.