DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]

As técnicas de integração consistem em métodos para encontrar a antiderivada de uma função, incluindo substituição, integração por partes, frações parciais e métodos trigonométricos. Tais ferramentas são cruciais para resolver problemas de navegação, dinâmica orbital e análise de empuxo em veículos espaciais.

INTEGRAL INDEFINIDA (ANTIDERIVADA):

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \iff F'(x) = f(x) \]

A constante \(C\) representa a família de todas as antiderivadas. A integração é a operação inversa da derivação.

INTEGRAL DEFINIDA (SOMA DE RIEMANN):

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x \]

onde \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\) e \(x_i^*\) é um ponto de amostragem no \(i\)-ésimo subintervalo. Geometricamente, a integral definida representa a área com sinal sob o gráfico de \(f\) entre \(a\) e \(b\).

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

onde \(F\) é qualquer antiderivada de \(f\). Este teorema conecta os dois conceitos centrais do cálculo: derivação e integração.

TÉCNICAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO:

1. Substituição: \[ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) \]

2. Integração por Partes: \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]

3. Potências: \[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]