Seja \(u = x^2\). Então, \(du = 2x\,dx\). A integral fica \(\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C.\)

Definindo \(u = \ln(x)\), então \(du = (1/x)\,dx\). A integral torna-se \(\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C.\)

Seja \(I = \int e^x \sin(x)\,dx\). Integra-se por partes:
\(I = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x)\,dx\).

Defina \(J = \int e^x \cos(x)\,dx\) e também resolva por partes. No final, obtém-se:

\[I = \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + C.\]

Escolhendo \(u = x\) e \(dv = \cos(x)\,dx\), temos \(du = dx\) e \(v = \sin(x)\). Logo,

\(\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x) + C.\)

\(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\). Então, \(\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C.\)

\(\frac{x+2}{x^2 + x} = \frac{x+2}{x(x+1)}\). Dividindo, obtemos \(\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}\). Assim,

\(\int \frac{x+2}{x^2 + x}\,dx = 2\ln|x| - \ln|x+1| + C.\)

Com \(x = a\sin(\theta)\), temos \(dx = a\cos(\theta)d\theta\) e \(\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos(\theta)\). A integral vira

\(\int a\cos(\theta)\cdot a\cos(\theta)d\theta = a^2 \int \cos^2(\theta)d\theta.\)

Resulta \(\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{x}{a}) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + C.\)

\(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Logo, \(\int \sin^2(x)\,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2}dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C.\)

\(\int \tan^3(x)\,dx = \int \tan(x)\sec^2(x)\,dx - \int \tan(x)\,dx.\)

Com \(u = \tan(x)\), \(du = \sec^2(x)\,dx\) para o primeiro termo. E \(\int \tan(x)\,dx = -\ln|\cos(x)|\). Assim, obtemos \(\frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C.\)

\(\int \sec(x)\,dx = \int \sec(x)\frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \,dx\).

Seja \(u = \sec(x) + \tan(x)\). Então, \(du = (\sec(x)\tan(x) + \sec^2(x))\,dx\). A integral simplifica para \(\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C.\)

Com \(x = a\sec(\theta)\), obtemos \(\sqrt{x^2 - a^2} = a\tan(\theta)\) e \(dx = a\sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta\).

A integral fica \(\int a\tan(\theta)\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta\), o que exige manipulação de \(\tan^2(\theta)\). Resulta

\(\frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\bigl|x + \sqrt{x^2 - a^2}\bigr| + C.\)

Com \(x = a\tan(\theta)\), \(\sqrt{x^2 + a^2} = a\sec(\theta)\) e \(dx = a\sec^2(\theta)\,d\theta\). Então,

\(\int \sqrt{x^2 + a^2}\,dx = a^2 \int \sec^3(\theta)\,d\theta.\) Conhece-se que \(\int \sec^3(\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\sec(\theta)\tan(\theta) + \frac{1}{2}\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C.\)

Substituindo de volta para \(x\), obtemos \(\frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\bigl|x + \sqrt{x^2 + a^2}\bigr| + C.\)

Definindo \(u = \ln(x)\), então \(\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C.\)

\(\int e^x \cos^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\int e^x\,dx + \frac{1}{2}\int e^x\cos(2x)\,dx.\)

O primeiro termo é \(\frac{e^x}{2}\). Para \(\int e^x \cos(2x)\,dx\), a forma padrão é \(\int e^x \cos(ax)\,dx = \frac{e^x}{a^2+1}\bigl(a\sin(ax) + \cos(ax)\bigr)\).

Ao final, resulta em combinação de \(e^x\sin(2x)\) e \(e^x\cos(2x)\), mais as constantes, formando \(\frac{e^x}{2} +\) termos envolvendo \(\sin(2x), \cos(2x)\).

Seja \(I = \int x^2 e^x\,dx\). Primeiro passo: \(u = x^2\), \(dv = e^x\,dx\). Então \(du = 2x\,dx\), \(v = e^x\).

\(I = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx.\) Em seguida, integre \(\int 2x e^x\,dx\) por partes novamente. Ao fim, obtemos

\[(x^2 - 2x + 2)e^x + C.\]

Com \(u = \ln(x)\), \(du = \frac{1}{x}dx\). E \(dv = x\,dx\), \(v = \frac{x^2}{2}\). Logo,

\(\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.\)

\(\frac{2x+3}{x^2 + x + 1} = \frac{(2x+1) + 2}{x^2 + x + 1} = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} + \frac{2}{x^2 + x + 1}.\)

A primeira parte gera \(\ln|x^2 + x + 1|\). Para a segunda, complete o quadrado: \(x^2 + x + 1 = (x+\tfrac{1}{2})^2 + \tfrac{3}{4}\). Assim, obtemos

\(\int \frac{2x+3}{x^2 + x + 1}\,dx = \ln|x^2 + x + 1| + \frac{4}{\sqrt{3}}\arctan\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Bigr) + C.\)

Com \(t = \tan(x/2)\), temos \(\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}\) e \(dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt\). A integral

\(\int \frac{1}{1+\sin(x)}\,dx\) se transforma em expressão racional em \(t\). Após a simplificação e integração, retorna-se via \(x = 2\arctan(t)\).

\(\int \cot^3(x)\,dx = \int \cot(x)\csc^2(x)\,dx - \int \cot(x)\,dx.\)

Com \(u = \cot(x)\), temos \(du = -\csc^2(x)\,dx\). E \(\int \cot(x)\,dx = \ln|\sin(x)|\). O resultado é

\(-\frac{\cot^2(x)}{2} - \ln|\sin(x)| + C.\)

Um método: \(\int \sec^3(x)\,dx = \int \sec(x)\sec^2(x)\,dx\). Com integração por partes ou pela fórmula clássica,

\(\int \sec^3(x)\,dx = \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x)+\tan(x)| + C.\)