SIGILOSO
DATA: 17 DE OUTUBRO DE 1962
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE PESQUISA [REDACTED]
RELATÓRIO DE REVISÃO: PROJETO G-ANALYTICS

Em alinhamento com as diretrizes de aprimoramento científico estabelecidas após o incidente orbital, esta compilação de exercícios visa consolidar os principais conceitos de geometria analítica aplicados à exploração espacial.

Entre os tópicos abordados, enfatizam-se fórmulas de distância, produto escalar, produto vetorial, equações de retas e planos, bem como o cálculo de volumes e áreas em três dimensões. Tais técnicas são essenciais para interceptação de órbitas, acoplamento de módulos e outras manobras críticas que garantem a segurança nacional.
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REF: GA-889-R NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-4 CÓPIAS EXISTENTES: 4 DE 6
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: REVISÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA

DEFINIÇÃO FORMAL E PRINCIPAIS FÓRMULAS:

Distância entre dois pontos \(A(x_1,y_1,z_1)\) e \(B(x_2,y_2,z_2)\): \[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Produto Escalar (\(\vec{u}\cdot \vec{v}\)): \[ \vec{u}\cdot \vec{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z \]
Produto Vetorial (\(\vec{u}\times \vec{v}\)): \[ \vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ u_x & u_y & u_z\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \]
Equação de Reta (forma vetorial): \[ \vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\,\vec{d} \]
Equação de Plano (\(\vec{n}\) normal): \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \]
Volume (Produto Misto) \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\) e áreas derivadas de \(\|\vec{u}\times \vec{v}\|\).

Esses conceitos fundamentais suportam análises de posicionamento, orientação e estabilidade de módulos espaciais em diversas missões.

O domínio de vetores, retas e planos permite calcular trajetórias de lançamento, manobras de acoplamento, ângulos de reentrada e outras variáveis estratégicas na corrida espacial. Tais aplicações reforçam a importância de um conhecimento sólido em geometria analítica.
NOTA HISTÓRICA: A disputa tecnológica na década de 1960 evidenciou que a precisão de cálculos de rotas e órbitas era decisiva para o sucesso de programas como Mercury, Gemini e Apollo, culminando em avanços expressivos em métodos de cálculo vetorial.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Análise de Trajetória - Programa de Interceptação Orbital [CONFIDENCIAL]

    Dado o vetor de velocidade \(\vec{v} = (3, 4, 0)\) e o vetor de referência \(\vec{u} = (1, 0, 0)\), encontre a decomposição de \(\vec{v}\) na direção de \(\vec{u}\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar as componentes sem calcular diretamente.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE DECOMPOSIÇÃO VETORIAL:

    A projeção de \(\vec{v}\) sobre \(\vec{u}\) é dada por: \[ \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\right)\vec{u}. \]

    Produto escalar: \(\vec{v}\cdot \vec{u} = 3\).
    \(\vec{u}\cdot \vec{u} = 1\).

    \(\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = (3, 0, 0)\).
    Componente perpendicular: \((0, 4, 0)\).

    Portanto, \(\vec{v} = (3, 0, 0) + (0, 4, 0)\).

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Cálculos de Eficiência Energética - Projeto de Propulsão Avançada [CLASSIFICADO]

    Calcule o produto escalar entre \(\vec{a} = (2, -1, 1)\) e \(\vec{b} = (1, 1, 3)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar as componentes sem calcular diretamente.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PRODUTO ESCALAR:

    \(\vec{a}\cdot \vec{b} = 2(1) + (-1)(1) + 1(3) = 2 -1 +3 = 4.\)

    Conclusão: Produto escalar = 4 (significativo para análise energética).

  3. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Análise de Forças Gravitacionais - Centro de Controle de Missão [RESTRITO]

    Calcule o produto vetorial \(\vec{v} \times \vec{w}\), onde \(\vec{v} = (1,2,3)\) e \(\vec{w} = (4,5,6)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere como relacionar determinante e vetores para obter a orientação resultante.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PRODUTO VETORIAL:

    \[ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = (-3, 6, -3). \]

    Conclusão: \(\vec{v} \times \vec{w} = (-3, 6, -3)\).

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Cálculo de Superfícies Operacionais - Projeto de Módulo Lunar [ALTAMENTE CONFIDENCIAL]

    Dados dois vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) em \(\mathbb{R}^3\), explique como encontrar a área de um triângulo formado por esses vetores. Em seguida, calcule a área para \(\vec{u} = (0,1,1)\) e \(\vec{v} = (1,1,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de produtos vetoriais podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE CÁLCULO DE ÁREA:

    \(\|\vec{u} \times \vec{v}\|\) fornece a área do paralelogramo, metade disso é a área do triângulo.

    \(\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, -1)\) e \(\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \sqrt{3}\).

    Área do triângulo = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\).

  5. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Cálculos Volumétricos - Projeto de Estação Orbital [SECRETO]

    Considere três vetores \(\vec{a} = (1,2,3)\), \(\vec{b} = (0,1,1)\) e \(\vec{c} = (2,0,1)\). Calcule o volume do paralelepípedo formado por \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de determinantes em produtos mistos.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PRODUTO MISTO:

    Volume = \(|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\).

    \(\vec{b} \times \vec{c} = (1, 2, -2)\).

    \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c}) = 1 + 4 -6 = -1.\)

    Volume = 1 (valor absoluto de -1).

  6. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Navegação Espacial - Divisão de Rendezvous Orbital [CONFIDENCIAL]

    Sejam três pontos no \(\mathbb{R}^3\): \(A(1,2,3)\), \(B(2,3,4)\) e \(C(0,1,1)\). Determine a equação do plano que passa por esses três pontos.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de vetores normais obtidos por produto vetorial.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE DETERMINAÇÃO DE PLANO:

    \(\overrightarrow{AB} = (1,1,1)\), \(\overrightarrow{AC} = (-1,-1,-2)\).
    \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-1,1,0)\).

    Equação do plano via ponto A: \[ -1(x -1) + 1(y -2) = 0 \,\Rightarrow\, x - y +1 = 0. \]

  7. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Trajetórias de Interceptação - Centro de Comando da Força Espacial [RESERVADO]

    Dado dois pontos no \(\mathbb{R}^3\): \(P(1,0,2)\) e \(Q(2,3,4)\), encontre a equação vetorial da reta que passa por eles.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias não aparentes no sistema de coordenadas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE DETERMINAÇÃO DE RETA:

    \(\vec{d} = (1,3,2)\).
    \(\vec{r}(t) = (1,0,2) + t(1,3,2).\)

  8. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Navegação Anti-satélite - Programa de Defesa Estratégica [ALTAMENTE RESTRITO]

    Encontre a reta paralela ao vetor \(\vec{v}=(2,4,1)\) que passa pelo ponto \((0,0,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Procure invariantes sob variação de parâmetros.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE RETA A PARTIR DA ORIGEM:

    \(\vec{r}(t) = (0,0,0) + t(2,4,1).\)

    Forma paramétrica: \[ x=2t,\; y=4t,\; z=t. \]

  9. EXERCÍCIO VECTOR-5A
    ORIGEM: Orientação Espacial - Projeto de Satélites de Reconhecimento [SECRETO]

    Considere dois vetores \(\vec{u}=(1,2,0)\) e \(\vec{v}=(0,1,2)\). Escreva a equação de um plano paralelo a \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) que passe pelo ponto \((1,1,1)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Podem existir simetrias ocultas nas direções impostas pelos vetores.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PLANO PARALELO A DOIS VETORES:

    \(\vec{n} = \vec{u}\times \vec{v} = (4, -2, 1).\)

    Equação: \[ 4(x-1) -2(y-1) + (z-1) = 0\;\Rightarrow\;4x -2y +z -3=0. \]

  10. EXERCÍCIO VECTOR-5B
    ORIGEM: Interseção de Órbitas - Programa de Encontro Espacial [CLASSIFICADO]

    Escreva a forma paramétrica da reta que é interseção dos planos \[ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \end{cases} \]

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    PARAMETRIZAÇÃO:

    Deixe \(t=z\).
    \(x + y = 2 - t\).
    \(2x - y + 3t = 5\).

    Somando: \(\,3x = 7 -4t \implies x=\frac{7-4t}{3}\).
    Então \(y = 2 - t -x\).

    Forma final: \(\,x= \frac{7}{3}- \frac{4}{3}t,\;y= -\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}t,\;z=t.\)

  11. EXERCÍCIO VECTOR-6A
    ORIGEM: Validação de Trajetórias - Divisão de Controle de Missão [RESTRITO]

    Determine se a reta \(\vec{r}(t) = (1,1,0) + t(1,2,3)\) está contida no plano \(x + 2y - z = 3\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PERTINÊNCIA:

    \(x=1+t,\;y=1+2t,\;z=3t.\)
    Substitua em \(x+2y-z\): \((1+t)+2(1+2t)-(3t)=3.\)

    \(1 + t +2 +4t -3t =3\;\Rightarrow\;3+2t=3\;\Rightarrow t=0.\)

    Apenas \((1,1,0)\) satisfaz, logo a reta não está contida no plano.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-6B
    ORIGEM: Orientação de Antenas - Projeto de Comunicação Espacial [CONFIDENCIAL]

    Encontre a equação do plano que passa pelos pontos \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\) e é perpendicular ao vetor \((0,1,1)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE PLANO PERPENDICULAR:

    Se \((0,1,1)\) é normal ao plano, então a equação fica \(0(x-0) +1(y-0) +1(z-0)=0\).

    Simplifica em \(y+z=0\). Ponto B(1,0,0) também satisfaz \(0+0=0\).

    Conclusão: Plano \(y+z=0\).

  13. EXERCÍCIO 14
    ORIGEM: Alinhamento de Acoplamento - Setor de Engenharia Orbital [NÍVEL AVANÇADO]

    Calcule a distância do ponto \(P(2, -1, 3)\) à reta \(\vec{r}(t) = (1,1,0) + t(2,1,1)\). Esse tipo de medida é crucial para coordenar a aproximação de duas naves em manobras de acoplamento orbital.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    PROTOCOLO DE DISTÂNCIA PONTO-RETA:

    Seja \(Q\) um ponto qualquer na reta, \(\vec{d}=(2,1,1)\) o vetor direção, \(\vec{P_0}=(1,1,0)\) o ponto base. Então \[ \text{dist}(P,\text{reta}) = \frac{\|(\vec{P}-\vec{P_0}) \times \vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}. \]

    PASSO 1: \(\vec{P}-\vec{P_0} = (2-1,\,-1-1,\,3-0) = (1,-2,3)\).

    PASSO 2: Produto vetorial \((\vec{P}-\vec{P_0}) \times \vec{d}\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot1 - 3\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot1 -3\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot1 -(-2)\cdot2). \] \[ = \mathbf{i}(-2-3) - \mathbf{j}(1-6) + \mathbf{k}(1+4) = (-5)\mathbf{i} -(-5)\mathbf{j} +5\mathbf{k}. \] \(\Rightarrow (\,-5,\,5,\,5)\).

    PASSO 3: Norma do vetor resultante: \(\sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.\)

    PASSO 4: \(\|\vec{d}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 +1^2} = \sqrt{6}.\)

    Conclusão: \[ \text{dist} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{18}}{6} = \frac{5\sqrt{18}}{6}. \] Forma simplificada: \(\frac{5\sqrt{6}\,\sqrt{3}}{6}\), mas \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\) é aceitável como resposta.

    IMPLICAÇÃO TÁTICA: Distância mínima entre ponto e reta assegura parâmetros de aproximação seguros para o sistema de engate orbital.

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