DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Nesta revisão, focamos nas principais regras de derivação: Regra do Produto, Regra do Quociente e Regra da Cadeia. O domínio de aplicação dessas técnicas é amplo e abrange desde a definição de velocidades em linhas de produção até a otimização de trajetórias espaciais.

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

A derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função. Geometricamente, \(f'(x)\) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(x\).

DERIVADAS FUNDAMENTAIS:

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^n) &= nx^{n-1} \\ \frac{d}{dx}(e^x) &= e^x \\ \frac{d}{dx}(\ln x) &= \frac{1}{x} \\ \frac{d}{dx}(\sin x) &= \cos x \\ \frac{d}{dx}(\cos x) &= -\sin x \end{aligned} \]

REGRAS DE DERIVAÇÃO:

Regra do Produto: \[ (fg)' = f'g + fg' \]

Regra do Quociente: \[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0 \]

Regra da Cadeia: \[ \frac{d}{dx}\bigl[f(g(x))\bigr] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]