SIGILOSO
DATA: 25 DE SETEMBRO DE 1961
LOCALIZAÇÃO: INSTALAÇÃO [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO DELTA-X

Em meio à intensificação da corrida espacial, nossa equipe de pesquisadores elaborou este módulo de revisão sobre derivadas ordinárias. As técnicas apresentadas são cruciais para cálculos de orientação e para o sucesso de futuras missões do programa ████████.

Estes exercícios contemplam aplicações de regras de derivação fundamentais para auxiliar no aprimoramento das análises de propulsão.
Este documento contém informações de alto valor estratégico, com aplicações imediatas no projeto Fênix. Qualquer divulgação não autorizada resultará em sanções severas.
REF: RV-210-X NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-1 CÓPIAS EXISTENTES: 3 DE 5
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: REVISÃO DE DERIVADAS

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Nesta revisão, focamos nas principais regras de derivação: Regra do Produto, Regra do Quociente e Regra da Cadeia. O domínio de aplicação dessas técnicas é amplo e abrange desde a definição de velocidades em linhas de produção até a otimização de trajetórias espaciais.

A capacidade de calcular derivadas com precisão é imprescindível na estimativa de variações instantâneas de empuxo e na correção de rota em naves experimentais. Em situações de microgravidade, qualquer erro insignificante no cálculo de \(\frac{d}{dx}\) pode comprometer a estabilidade de módulos orbitais.
NOTA HISTÓRICA: Durante o início dos anos 60, a computação de derivadas ordinárias desempenhou papel fundamental no Programa Mercury, ajudando a prever e corrigir desvios de trajetória em lançamentos iniciais.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Teste de Conceitos Iniciais - Relatório Interno de Abril de 1960

    Calcular a derivada da função \[f(x) = 3x^2 + 4x - 1\].
    Método: Identificar coeficientes e aplicar derivação termo a termo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Relembre a propriedade básica \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(1) = 6x + 4 - 0. \]

    Logo, \(f'(x) = 6x + 4.\)

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Avaliação Básica - Setor de Controle Propulsivo

    Calcular a derivada usando a Regra do Produto: \[ g(x) = (2x + 1)(x^3 - 4). \]
    Método: \(\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Aplique a derivada separadamente em cada fator e utilize a soma das parcelas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Seja \(u(x) = 2x + 1\) e \(v(x) = x^3 - 4\). Então:

    \[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = 3x^2. \]

    Pela Regra do Produto: \[ g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2(x^3 - 4) + (2x + 1)(3x^2). \]

    Simplificando: \[ g'(x) = 2x^3 - 8 + 6x^3 + 3x^2 = 8x^3 + 3x^2 - 8. \]

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Observações Iniciais - Setor de Cálculos Operacionais

    Calcular \(\frac{d}{dx}\bigl[h(x)\bigr]\) para \[h(x) = \sqrt{x^2 + 1}.\]
    Método: Interpretar \(\sqrt{x^2 + 1}\) como \(\bigl(x^2 + 1\bigr)^{1/2}\) e usar a Regra da Cadeia.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Lembre que se \(f(x) = (x^2+1)\), então \(\frac{d}{dx}[f(x)^{1/2}] = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Considere \(h(x) = (x^2 + 1)^{1/2}\). Então: \[ h'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. \]

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Subsetor de Análises Mistas - Registros de 23/05/1961

    Calcular a derivada da função \[ p(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}, \] aplicando a Regra do Quociente.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de diferenças e somas no numerador podem ser úteis.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Pela Regra do Quociente: \[ p'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}. \]

    Numerador: \[ (2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x) = 2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1). \]
    \[ = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x = 4x. \]

    Logo, \[ p'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}. \]

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Painel de Estudos - Departamento de Otimização Balística

    Use a Regra da Cadeia combinada à Regra do Produto para encontrar \(\frac{d}{dx}\) de \[ q(x) = (x + 1)^3 \cdot \bigl(\sin(2x)\bigr). \]

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de funções trigonométricas podem auxiliar no resultado final.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Seja \(u(x) = (x + 1)^3\) e \(v(x) = \sin(2x)\). Então:

    \[ u'(x) = 3(x+1)^2, \quad v'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x). \]

    Pela Regra do Produto: \[ q'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(x+1)^2 \sin(2x) + (x+1)^3 \cdot 2\cos(2x). \]

    \[ q'(x) = 3(x+1)^2 \sin(2x) + 2(x+1)^3 \cos(2x). \]

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Estudos Intermediários - Registro [████]

    Calcular a derivada de \[ r(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x-1}. \] Combine Regra da Cadeia e Regra do Quociente.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{u'(x)}{u(x)}\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Seja \(u(x) = \ln(x^2+1)\) e \(v(x) = x-1\). Então:

    \[ u'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}, \quad v'(x) = 1. \]

    Pela Regra do Quociente: \[ r'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. \]

    Substituindo: \[ r'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{x^2+1}\bigr)(x-1) - \ln(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}. \]

    \[ r'(x) = \frac{\frac{2x(x-1)}{x^2+1} - \ln(x^2+1)}{(x-1)^2}. \]

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Programa Gemini - Relatório Avançado

    Determinar \(\frac{d}{dx}\) de \[ s(x) = e^{3x} \cdot (x^2 + 2)^5. \] Combine Regra do Produto, Regra da Cadeia e Função Exponencial.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem invariantes ocultos no crescimento exponencial.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Seja \(u(x) = e^{3x}\) e \(v(x) = (x^2+2)^5\).

    \[ u'(x) = 3 e^{3x}, \quad v'(x) = 5(x^2+2)^4 \cdot 2x = 10x (x^2+2)^4. \]

    Então, \[ s'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3 e^{3x}(x^2+2)^5 + e^{3x}\cdot 10x (x^2+2)^4. \]

    Factorizando, obtemos: \[ s'(x) = e^{3x}(x^2+2)^4 \bigl[3(x^2+2) + 10x\bigr]. \]

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Laboratório Dinâmico - Protocolo de 1962

    Diferencie a função: \[ t(x) = (\cos x)^4 \cdot \sqrt{3x + 1}. \] Combine manipulações trigonométricas com radicais.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere derivar separadamente cada fator e aplicar a Regra do Produto.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Escreva \((\cos x)^4 = \cos^4 x\) e \(\sqrt{3x + 1} = (3x+1)^{1/2}\).

    Seja \(u(x) = \cos^4 x\) e \(v(x) = (3x+1)^{1/2}\).

    \[ u'(x) = 4\cos^3(x)(-\sin x) = -4\cos^3 x\, \sin x, \] \[ v'(x) = \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}. \]

    Pela Regra do Produto: \[ t'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). \]
    \[ t'(x) = -4\cos^3(x)\sin(x) \cdot \sqrt{3x+1} + \cos^4(x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}. \]

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Seção de Astrodinâmica - 1962

    Calcular \(\frac{d}{dx}\bigl[z(x)\bigr]\) para \[ z(x) = \ln\bigl(\sin(x^3)\bigr). \] Trata-se de composição de logaritmo e função trigonométrica.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Analisar cuidadosamente a derivada de \(\sin(x^3)\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Seja \(u(x) = \sin(x^3)\). Então \(z(x) = \ln(u(x))\).

    \[ z'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x), \quad u'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2. \]

    Logo, \[ z'(x) = \frac{3x^2\cos(x^3)}{\sin(x^3)}. \]

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Missão Apollo - Operações Avançadas

    Diferencie: \[ w(x) = (x+2)^{\sin x}. \] Lembre-se de que o expoente depende de \(x\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Use a abordagem de logaritmos: \(\ln w(x) = \sin x \cdot \ln(x+2)\).

    A derivada final envolve termos da derivada de \(\sin x\) e \(\ln(x+2)\), combinados.

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Dados Sigilosos - Centro de Lançamento

    Calcular \(\frac{d}{dx}\) para \[ y(x) = \frac{x e^x}{(x^2 + 4)^2}. \] Envolve combinação de produto, exponencial e quociente.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Separar em \(u(x) = x e^x\) e \(v(x) = (x^2 + 4)^2\); aplicar a Regra do Quociente. Cada parcela exigirá regras combinadas.

    \(u'(x) = e^x + x e^x\) e \(v'(x) = 2(x^2 + 4) \cdot 2x\) são partes centrais.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Arquivos de Recursos Orbitais - 1963

    Encontrar a derivada de \[ \phi(x) = \sqrt{\ln( x^2 + e^x )} \biggl/ ( \sin x + 2 ) . \] Combinação de todas as regras abordadas.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Analisar \(\phi(x)\) como \(\frac{(\ln( x^2 + e^x ))^{1/2}}{\sin x + 2}\).

    Usar Regra da Cadeia para a raiz e o log; Regra Exponencial em \(e^x\); Regra do Quociente para o denominador.

    O resultado final concentra derivadas parciais em cada fator.

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