DEFINIÇÃO FORMAL:

Uma cônica é definida como a curva obtida pela interseção de um cone circular reto com um plano. A posição relativa entre o plano e o eixo do cone determina a forma resultante: elipse, parábola ou hipérbole.

Equação Geral de Segundo Grau (duas variáveis): \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

EQUAÇÕES PADRÃO E ELEMENTOS:

1. Elipse (centro na origem, eixos alinhados): \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0 \] Focos: \(F_1(-c, 0)\) e \(F_2(c, 0)\), onde \(c^2 = a^2 - b^2\).
Relação focal: \(d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a\) para todo ponto \(P\) na elipse.

2. Parábola (vértice na origem, eixo vertical): \[ y^2 = 4px, \quad p \neq 0 \] Foco: \(F(p, 0)\). Diretriz: \(x = -p\).
Relação focal: \(d(P, F) = d(P, \text{diretriz})\) para todo ponto \(P\) na parábola.

3. Hipérbole (centro na origem, eixos alinhados): \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a, b > 0 \] Focos: \(F_1(-c, 0)\) e \(F_2(c, 0)\), onde \(c^2 = a^2 + b^2\).
Assíntotas: \(y = \pm \dfrac{b}{a}\, x\).
Relação focal: \(|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a\) para todo ponto \(P\) na hipérbole.

EXCENTRICIDADE E CLASSIFICAÇÃO:

A excentricidade \(e\) mede o grau de achatamento ou abertura da cônica, definida por: \[ e = \frac{c}{a} \] onde \(c\) é a distância do centro ao foco e \(a\) é o semi-eixo principal.

Classificação: \[ \begin{cases} e = 0 &\Rightarrow \text{Círculo (caso especial da elipse)} \\ 0 < e < 1 &\Rightarrow \text{Elipse} \\ e = 1 &\Rightarrow \text{Parábola} \\ e > 1 &\Rightarrow \text{Hipérbole} \end{cases} \]