Documento Sigiloso - Cálculo Vetorial

EXERCÍCIO CONIC-1

ORIGEM: Seção Teórica de Conicidade [ARQUIVO [REDACTED], 01/OUT/1962]

(Atividade orientada) Relembre a ideia de "distância constante" em uma figura geométrica. A circunferência pode ser definida como o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto central. Marque a opção que melhor descreve essa definição:

a) Conjunto de pontos que têm a mesma soma de distâncias a dois pontos fixos.
b) Conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (centro).
c) Conjunto de pontos cuja razão de distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa é constante.
d) Conjunto de pontos que têm a mesma diferença de distâncias a dois pontos fixos.

Instrução: Caso tenha dúvidas, desenhe mentalmente ou em seu caderno uma circunferência e relembre como se mede o raio.

Solução

Resposta correta: (b). Uma circunferência é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado centro.

EXERCÍCIO CONIC-2

ORIGEM: Departamento de Geometria Analítica [TRANSMISSÃO ENCRIPTADA]

(Atividade orientada) Uma elipse tem um conceito-chave relacionado à "soma" das distâncias a dois pontos fixos (focos). Complete mentalmente: "A elipse é o conjunto de pontos cujo(a) ___________ das distâncias a dois focos é ___________." Agora, selecione a frase correta:

a) Conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.
b) Conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (centro).
c) Conjunto de pontos cuja diferença de distâncias a dois pontos fixos é constante.
d) Conjunto de pontos que possuem um único foco.

Instrução: Se necessário, relembre exemplos de órbitas planetárias, que são elipses com um foco no centro do planeta.

Solução

Resposta correta: (a). A soma das distâncias de cada ponto a dois focos é a mesma, definindo a elipse.

EXERCÍCIO CONIC-3

ORIGEM: Agência [REDACTED] - Seção Orbitas

(Atividade orientada) A hipérbole está relacionada à diferença das distâncias a dois focos. Pense em como essa figura se forma ao afastar as ramas. Marque a opção que define a hipérbole:

a) Conjunto de pontos cujo quadrado da distância a um ponto fixo é menor que 1.
b) Conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.
c) Conjunto de pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante.
d) Conjunto de pontos que não pode ter focos.

Instrução: Lembre que, na hipérbole, a soma é variável, mas a diferença é que permanece fixa.

Solução

Resposta correta: (c). A hipérbole é caracterizada pela diferença constante das distâncias a dois focos.

EXERCÍCIO CONIC-4

ORIGEM: Arquivos Secretos [DADOS AINDA CRIPTOGRAFADOS]

(Atividade orientada) Uma parábola se relaciona a um foco e a uma diretriz (reta). Complete mentalmente: "A parábola é o conjunto de pontos que têm a ___________ ao foco igual à ___________ à diretriz." Agora, escolha:

a) Conjunto de pontos cuja distância a um ponto fixo (foco) é igual à distância a uma reta fixa (diretriz).
b) Conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.
c) Conjunto de pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante.
d) Conjunto de pontos cujo raio de curvatura é infinito.

Instrução: Rabisque no caderno uma parábola e meça a distância de qualquer ponto para o foco e para a diretriz, comparando-as.

Solução

Resposta correta: (a). Para qualquer ponto de uma parábola, a distância ao foco é igual à distância à diretriz.

EXERCÍCIO CONIC-5

ORIGEM: Análise de Diagrama [PROJETO [REDACTED]]

(Atividade orientada) Considere a circunferência descrita pela equação: \[x^2 + y^2 = 25.\] Identifique o centro, o raio, e um diâmetro qualquer. Explique por que todos os pontos que satisfazem a equação estão à mesma distância do centro.

A figura abaixo mostra uma representação exata desta circunferência no plano cartesiano:

Instrução: Observe que a equação \(x^2 + y^2 = 25\) descreve todos os pontos (\(x, y\)) a uma distância 5 da origem.

Solução

Centro: (0,0). Raio: 5. Exemplo de diâmetro: segmento ligando A(-5,0) e B(5,0).
Todo ponto (x,y) que satisfaz x^2 + y^2 = 25 está a distância \(\sqrt{x^2 + y^2} = 5\) do centro (0,0), definindo assim uma circunferência de raio 5.

EXERCÍCIO CONIC-6

ORIGEM: Seção de Geometria - Programa [REDACTED]

(Atividade orientada) Considere a elipse dada pela equação: \[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.\] Identifique o eixo maior, o eixo menor, e localize os focos. Explique como a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os focos permanece constante.

Na figura abaixo, plotamos essa elipse e evidenciamos seus eixos. Note que \(a = 5\) e \(b = 4\), com focos localizados em \((\pm 3, 0)\).

Solução

A elipse tem eixo maior no segmento AB (comprimento 2a = 10) e eixo menor no segmento CD (comprimento 2b = 8).
Os focos estão em (±3, 0), pois c² = a² – b² = 25 – 16 = 9, logo c = 3.
A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até F1 e F2 é 2a (ou seja, 10).
Assim, se P(x,y) estiver sobre a elipse, então PF1 + PF2 = 10.

EXERCÍCIO CONIC-7

ORIGEM: Dossiê Geométrico [CLASSIFICADO]

(Atividade orientada) Considere a parábola dada pela equação: \[y = \frac{1}{8}x^2.\] Identifique o vértice e determine a posição do foco e da diretriz a partir da forma canônica.

Abaixo, apresentamos a representação dessa parábola para \(-10 \le x \le 10\):

Solução

A forma padrão é y = ax², com a = 1/8.
Vértice em (0,0).
Foco em (0, 1/(4a)) = (0, 1/(4*(1/8))) = (0, 2).
Diretriz: y = -2.

EXERCÍCIO CONIC-8

ORIGEM: Seção de Configurações Orbitais [MATERIAL DE PESQUISA]

(Atividade orientada) Considere a hipérbole descrita pela equação: \[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.\] Identifique seus vértices, focos e assíntotas. Explique como a diferença das distâncias a cada foco permanece constante.

Na figura seguinte, desenhamos a curva no intervalo \(-6 \le x \le 6\):

Solução

Para \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\), temos a = 4, b = 3.
Portanto, focos em (±5,0), vértices em (±4,0) e assíntotas definidas por y = ±(b/a)x = ±(3/4)x.
Para qualquer ponto P na hipérbole, a diferença |PF1 – PF2| é constante (= 2a).

EXERCÍCIO CONIC-9

ORIGEM: Manual de Cálculos Orbitais [INTERNO - PROGRAMA [REDACTED]]

(Atividade prática) Seja uma parábola cujo foco está em \((0, 3)\) e a diretriz é a reta \(y = -3\). Instrução: represente no plano cartesiano, marque o foco e a diretriz, e deduza a equação a partir da igualdade de distâncias.

Solução

O vértice fica no ponto médio entre foco e diretriz, ou seja, no y=0. Assim, a equação padrão (aberta para cima) é \(y = \frac{1}{12}x^2\). Verificação: distância ponto-foco = distância ponto-diretriz leva ao resultado
Forma completa: Se P(x,y) então PF = \(\sqrt{x^2 + (y - 3)^2}\) e PD = |y + 3|.
Igualando: \(\sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = y + 3\) (pois y+3≥0 acima de y=-3).
Resolva ao quadrado e simplifique para chegar em y = x²/12.

EXERCÍCIO CONIC-10

ORIGEM: Departamento de Engenharia Aeronáutica [CÓDIGO DE PRIORIDADE: ALTO]

(Atividade prática) Determine a equação de uma parábola cujo foco é \((2,0)\) e cuja diretriz é a reta \(x = -2\). Use o mesmo raciocínio e explique cada passo para reforçar a compreensão.

Solução

Vértice no ponto médio entre x=2 e x=-2, isto é x=0. Logo, a distância do vértice ao foco é 2 unidades. Parábola abre para a direita. Fórmula padrão: \((y - k)^2 = 4p(x - h)\).
Aqui, (h,k)=(0,0) e p=2. Então \(y^2 = 8x\).
Verificando: Se P(x,y), PF = \(\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}\) e distância a diretriz = |x + 2|. Igualando e simplificando, obtemos y²=8x.

EXERCÍCIO CONIC-11

ORIGEM: Setor de Trajetória Balística

(Atividade prática) Uma parábola possui foco \((4,4)\) e diretriz \(y=-2\). Encontre sua equação na forma \(y = a x^2 + b x + c\). Oriente-se pelo método clássico de distância ponto-foco e ponto-diretriz.

Solução

A distância vertical do foco à diretriz é 6 unidades, então o vértice está a 3 unidades acima da diretriz (ou abaixo do foco). Assim, vértice em (4,1).
Transladando p=3 para cima a partir de y=-2, a forma se obtém resolvendo distâncias: PF=PD. Ou, use a forma canônica centrada no vértice e depois converta para a forma geral. O resultado final será algo como:
\(y - 1 = \frac{1}{12}(x - 4)^2\). Expandindo: \(y = \frac{1}{12}(x^2 - 8x + 16) + 1\) => \(y = \frac{1}{12}x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} + 1\) => \(y = \frac{1}{12}x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\).

EXERCÍCIO CONIC-12

ORIGEM: Arquivos Ultra Secretos [ANÁLISE DE INTERCEPTAÇÃO]

(Atividade prática) Uma parábola possui foco \((-3,2)\) e diretriz \(x = 1\). Determine a equação e identifique o vértice graficamente. Justifique cada etapa.

Solução

O vértice é o ponto médio entre foco e diretriz, no eixo x. Foco em x=-3, diretriz em x=1 => vértice em x=(-3+1)/2=-1. y=2 (mesmo y do foco).
Assim, (h,k)=(-1,2). A distância p=2 até a diretriz. Parábola abre para a esquerda (foco < diretriz). Equação canônica: \((y - 2)^2 = -4p (x + 1)\).
Como p=2, \((y - 2)^2 = -8(x + 1)\). Expanda se desejar a forma polinomial completa.

EXERCÍCIO CONIC-13

ORIGEM: Programa Vostok [ARQUIVO CRIPTOGRAFADO]

(Atividade prática) Uma elipse tem focos em \((-3,0)\) e \((3,0)\) e a soma das distâncias a esses focos para qualquer ponto da elipse é 10. Determine a equação canônica \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Use a relação \(2a=10\).

Solução

De 2a=10 => a=5. Focos a ±3 => c=3. Então b²=a²-c²=25-9=16 => b=4. A equação: \(x^2/25 + y^2/16=1\).

EXERCÍCIO CONIC-14

ORIGEM: Arquivos [REDACTED] - PROJETO ORION

(Atividade prática) Uma elipse possui focos em \((\pm 2, 0)\) e soma das distâncias igual a 12. Calcule a equação na forma \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) e determine \(a\) e \(b\). Analise como o valor de \(c\) (distância do centro até cada foco) influencia.

Solução

Distância foco ao centro: c=2. Soma de distâncias=12 => 2a=12 => a=6. b²=a²-c²=36-4=32 => b=\(\sqrt{32}\)=4\(\sqrt{2}\).
Equação: \(x^2/36 + y^2/32=1\). Se e=c/a=2/6=1/3, descreve a excentricidade.

EXERCÍCIO CONIC-15

ORIGEM: Setor de Mecânica Celeste

(Atividade prática) Uma hipérbole apresenta focos em \((0, -5)\) e \((0, 5)\). A diferença das distâncias a esses focos é igual a 6. Obtenha a equação da hipérbole e discuta brevemente por que o centro da hipérbole está em \((0,0)\).

Solução

Focos em (0,±5) => c=5, centro em (0,0). Diferença = 2a=6 => a=3. Então b²=c²-a²=25-9=16 => b=4.
Hipérbole vertical: \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2}=1\) => \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\).
O centro é o ponto médio entre os focos, logo (0,0).

EXERCÍCIO CONIC-16

ORIGEM: Análise de Trajetórias Externas [NÍVEL: SIGILOSO]

(Atividade prática) Dada uma hipérbole com focos em \((\pm 4, 0)\) e diferença de distâncias igual a 2, determine a equação e identifique seus vértices. Esboce o gráfico para conferir.

Solução

Focos (±4,0) => c=4. Diferença=2 => 2a=2 => a=1. b²=c²-a²=16-1=15 => b=\(\sqrt{15}\).
Equação: \(\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{15}=1\) => x^2 - y^2/15=1. Vértices em (±1,0).

EXERCÍCIO CONIC-17

ORIGEM: Equipe de Simulações Orbitais [RELAÇÃO COM PROJETO [REDACTED]]

(Problema avançado) Mostre que a seção cônica resultante do corte de um cone reto por um plano paralelo a uma geratriz é uma parábola. Dica: use a definição de foco e diretriz a partir da geometria do cone.

Solução

Basta provar que todo ponto do corte equidista de uma reta (diretriz formada pela interseção projetada) e de um ponto (foco gerado pela interseção do prolongamento do cone). A demonstração envolve semelhança de triângulos e a inclinação do plano igual à geratriz do cone.

EXERCÍCIO CONIC-18

ORIGEM: Centro de Pesquisa em Astrodinâmica

(Problema avançado) Explique como elipses e hipérboles podem modelar órbitas planetárias e trajetórias de fuga, respectivamente, relacionando ao valor de \(e\) (excentricidade). Ilustre com exemplos básicos (\(0 < e < 1\) para elipse; \(e > 1\) para hipérbole).

Solução

Quando 0 < e < 1, obtemos uma elipse, correspondendo a órbitas fechadas (planetas, satélites). Se e>1, temos hipérbole, modelando trajetórias de escape (não fechadas). e=1 seria caso parabólico, limite entre órbita fechada e fuga.

EXERCÍCIO CONIC-19

ORIGEM: Laboratório [REDACTED] [INFORMAÇÕES PARCIAIS]

(Problema avançado) Dado um conjunto de dados reais de satélites em órbita, descreva como identificar se a trajetória é elíptica, parabólica ou hiperbólica por meio do cálculo da excentricidade. Não é necessário computar todos os dados, apenas descreva o método passo a passo.

Solução

Calcule a excentricidade e = c/a (ou use fórmula de energias orbitais). Se e<1 => elipse, e=1 => parábola, e>1 => hipérbole. Procedimento envolve medir distâncias focais ou usar parâmetros orbitais (semi-eixo maior, etc.).

EXERCÍCIO CONIC-20

ORIGEM: Seção de Projetos Experimentais [CLASSIFICADO]

(Problema avançado) Investigue a relação entre o foco de uma elipse e o sistema de coordenadas polares (focal) para descrever a forma da órbita de um objeto lançado do Centro Espacial [REDACTED]. Explique como essa relação facilita o cálculo de apogeu e perigeu em missões orbitais.

Solução

No sistema de coordenadas polares focal, a distância r é descrita por r(\theta) = \(\frac{a(1 - e^2)}{1 + e cos\theta}\) para elipses. O foco num dos focos facilita encontrar rapidamente distâncias mínimas (perigeu) e máximas (apogeu). Esse enquadramento simplifica equações de manobra orbital.